Число отрезков

Число отрезков — инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла $K$ называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной, лежащей в $\mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}\cong S^{3}$ и объемлюще-изотопной геометрическому узлу $K$. Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла $K$ обозначается через ${\textrm {stick}}(K)$.

Узел восьмёрка имеет число отрезков, равное $7$.

Известные значения

Торический узел $T(2,3)$ (трилистник) имеет число отрезков, равное $6$ (так как $q=3$ и $2\cdot 3=6$). Это единственный узел с таким числом отрезков.

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно $6$. Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений. В 1997 году Гё Тэк Чин определил число отрезков торического узла ${\textrm {T}}(p,q)$ для близких $p\,{\text{и}}q$:

• ${\textrm {stick}}({\textrm {T}}(p,q))=2q$, если $2\leqslant p<q\leqslant 2p$,
• ${\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r))=3r$, если $r\geqslant 1$,
• ${\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,2r))=4r-1$, если $r\geqslant 1$.

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Колином Адамсом. Им, например, удалось доказать, что:

• ${\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r-1))=2r$, если $r\geqslant 2$.

Если $K^{n}$ — произвольная связная сумма, состоящая из $n$ трилистников (не обязательно только левых или только правых), то:

${\text{stick}}(K^{n})=2n+4$.

Оценки

Прмер неточности приведённой оценки: на рисунке изображено представление прямого узла в виде ломаной, число звеньев которой равно $8$, однако, учитывая что прямой узел является связной суммой левого и правого трилистников, приведённая оценка даёт только $6+6-3=9$.

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно:

${\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leqslant {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3$.

Если $r$ и $s$ — взаимно простые целые числа, причем $2\leqslant r<s$, то:

${\text{stick}}({\textrm {T}}(r,s))\geqslant {\text{min}}\{4r,2s\}$.

Связанные инварианты

Число отрезков узла $K$ связано с его числом перекрёстков ${\textrm {cr}}(K)$ следующим неравенством:

${\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\textrm {cr}}(K)+1}})\leqslant {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}({\textrm {cr}}(K)+1)$.

Литература

• Adams C. C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots (англ.). — New York: American Mathematical Society, 2004. — 307 p. — ISBN 978-0821836781.

• Adams C. C., Flapan, E., Henrich, A., Kauffman, L. H., Ludwig, L. D., Nelson, S. Encyclopedia of Knot Theory (англ.). — Chapman and Hall/CRC, 2020. — 954 p. — ISBN 978-1138297845.

• Adams C. C., Brennan B. M., Greilsheimer D. L., Woo A. K. Stick numbers and composition of knots and links (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6, iss. 2. — P. 149—161. — doi:10.1142/S0218216597000121.

• Calvo J. A. Geometric knot spaces and polygonal isotopy (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2001. — Vol. 10, iss. 2. — P. 245—267. — doi:10.1142/S0218216501000834.
• Jin G. T. Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Vol. 6, iss. 2. — P. 281—289. — doi:10.1142/S0218216597000170.

• Negami S. Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1991. — Vol. 324, iss. 2. — P. 527—541. — doi:10.2307/2001731.

• Huh Y., Oh S. An upper bound on stick number of knots (англ.) // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Vol. 20, iss. 5. — P. 741—747. — doi:10.1142/S0218216511008966.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Stick number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• «Stick numbers for minimal stick knots», KnotPlot Research and Development Site.
• Adams C. C. Why knot: knots, molecules and stick numbers // Plus Magazine. — 2005.