G-дельта-множество

G-дельта-множество ($G_{\delta }$-множество) — борелевское множество в топологическом пространстве, которое является счётным пересечением открытых множеств.

Термин происходит от нем. Gebiet, (буквально — область), в данном контексте означает открытое множество, а δ означает нем. Durchschnitt — пересечение.

Определение

G-дельта-множество есть счётное пересечение открытых подмножеств топологического пространства.

Примеры

• Открытые множества в любых топологических пространствах.
• Замкнутые множества в метрических пространствах.
•  Множество иррациональных чисел на вещественной прямой.
  • При этом множество рациональных чисел на вещественной прямой не является G-дельта-множеством. Последнее следует из теоремы Бэра.

Свойства

• Всякое G-дельта-множество является борелевским.
• Пересечение счётного количества G-дельта-множеств является G-дельта-множеством.
• Объединение конечного числа G-дельта-множеств является G-дельта-множествами.
• В метризуемых пространствах замкнутые множества являются G-дельта-множествами.
• Подпространство $A$ полного метрического пространства допускает эквивалентную полную метрику тогда и только тогда, когда $A$ есть G-дельта-множество.

См. также

• Категория Бэра
• F-сигма-множество — двойственное понятие.