H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

H-пространство - пара, состоящая из топологического пространства $P$ с отмеченной точкой и непрерывного отображения $\mu :P\times P\rightarrow P$(называемого умножением), для которого постоянное отображение в отмеченную точку $c:P\longrightarrow P$ служит гомотопической единицей (т.е. каждая из композиций

$P{\overset {(c,1)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}\quad {\text{и}}\quad P{\overset {(1,c)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}P$

гомотопна тождественному отображению).

Примеры

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства $X$ пространство ${\mathcal {H}}_{X}$ всех непрерывных отображений $X\to X$, гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом $\mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}$ можно определить как композицию $\mu (f,g)=f\circ g$.

• Среди сфер, только $\mathbb {S} ^{0}$, $\mathbb {S} ^{1}$, $\mathbb {S} ^{3}$ и $\mathbb {S} ^{7}$ являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • $\mathbb {S} ^{0}$, $\mathbb {S} ^{1}$ и $\mathbb {S} ^{3}$ являются группами Ли, а $\mathbb {S} ^{7}$ — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

См. также

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

Ссылки

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Section 3.C