Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (англ. axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

$\exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\in a\to b\cup \{b\}\in a)\ )$, где $b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}$

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

$\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$

$\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))$

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

$\exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \{b\}\in a))$, где $\{b\}$ — множество, единственным элементом которого является $b$.

$\exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to {\mathcal {P}}(b)\in a))$, где ${\mathcal {P}}(b)$ — булеан множества $b$

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция

• Натуральные числа