Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции $\varphi _{n}$ удовлетворяют свойству: $\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\rightarrow L)\quad \forall n\in \mathbb {N}$ для некоторой предельной точки $L$ области определения функции f(x). Последовательность функций $\varphi _{n}$, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)$, для которого выполняются условия :$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\rightarrow L)$

или эквивалентно:

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\rightarrow L).$

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L).$

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции $f(x)$ можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном $x$ ряд сходится в значение $f(x)$ при $N\rightarrow \infty$, тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном $N$ ряд сходится в значение $f(x)$ в пределе $x\rightarrow L$ ($L$ может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)$ называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность $\psi _{n}$, что

$f(x)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\psi _{N}(x))\ (x\rightarrow L).$

Этот факт записывается в следующем виде:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\rightarrow L)\quad \{\psi _{n}(x)\}.$

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )$

• Интегральная показательная функция

$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )$

• Дзета-функция Римана

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$
где $B_{2m}$ — числа Бернулли и $s^{\overline {2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots (s+2m-2)$. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.$

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

${\frac {\sin(x)}{x}}\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^{n}}}\quad (x\rightarrow \infty )\ \{(\log x)^{-n}\}.$

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975