Волны Лява

Во́лны Ля́ва — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной, так и поверхностной. Названа в честь английского математика Огастеса Эдварда Хафа Лява (англ. Augustus Edward Hough Love), исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году.

Волна Лява на сейсмограмме

Описание

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию; именно, в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z, направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

$U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],$

где k_t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение обычно не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой.

Изотропная среда

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ_i, уравнение движения для смещений U можно записать в виде

$\rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},$

(1)

где для поперечной волны U=(0,U_y,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала, заполняющего пространство; z>h.

Полное решение этого уравнения задаётся в виде

$U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(2.1)

$U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(2.2)

где $s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}$, $s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}$. Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которая имеет нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю:

$\tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

$U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(4.1)

$U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме, то уравнение (3) имеет действительные решения, лежащие в области $k_{t1}>k>k_{t2}$. Этих корней тем больше, чем больше произведение $k_{t2}h$. В пределе малой толщины $k_{t2}h\rightarrow 0$ существует только одна волна Лява:

$U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(5.1)

$U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},$

(5.2)

$k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],$

(5.3)

$s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.$

(5.4)

Литература

• Викторов И. А. . Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н., Перцев Б. П.  Об определении числа Лява по приливным изменениям вращения сжимаемой Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3. — С. 11—14.