Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа $n>2$ никакую $n$ -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $(n-1)$ $n$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}

не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута^[⇨].

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю $n=3$ . Таким образом, гипотеза Эйлера верна для $n=3$ .

Контрпримеры править

В 1966 году с помощью суперкомпьютера CDC 6600 инженерами Дармутского колледжа Ландером и Паркиным найден первый контрпример для $n=5$ ^[1]^[2]:

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}

.

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая $n=4$ ^[3]^[4]:

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для $n=4$ ^[5]^[4]:

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Контрпример для $n=7$ (Додрилл, 1999):

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷.

Контрпример для $n=8$ (Скотт Чейз, 2000):

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸.

Обобщения править

В 1966 году Джон Селфридж^[англ.] совместно с нашедшими первый контпример Ландером и Паркиным высказал гипотезу, что если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ , где $a_{i}\neq b_{j}$ — положительные целые числа, $i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}$ , то $m+n\geqslant k$ .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$ , то $n\geqslant k-1$ .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ , где $a_{i}\neq b_{j}$ , называется $(k,n,m)$ -решением. Поиском таких решений для различных значений параметров $k$ , $n$ , $m$ занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet^[6] и yoyo@home.

См. также править

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания править

↑ L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Архивировано 4 мая 2019 года.
↑ Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.]. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781. Архивировано 31 июля 2021 года.
↑ ¹ ² R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.
↑ Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106—116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.

Ссылки править

EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine

[1] L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079

[2] L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Архивировано 4 мая 2019 года.

[Elkies1988-3] Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.]. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781. Архивировано 31 июля 2021 года.

[EulerArxiv-4] ¹ ² R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.

[5] Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106—116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138

[6] EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]