Гребень Дирака

Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций

Гребень Дирака — бесконечный ряд

$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$

для некоторого заданного периода $T$.

Ряды Фурье

Очевидно, что $\Delta _{T}(t)$ периодическая с периодом $T$. Поэтому

$\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)$

для всех $t$. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

$\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\$

где $c_{n}$ коэффициенты Фурье, равные

$c_{n}$	$={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны $1/T$, получаем окончательное выражение

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}$.

Ссылки

• Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics, 17: 191—196