Задача Дидоны

Зада́ча Дидо́ны — исторически первая задача вариационного исчисления. Связана с древней легендой об основании города Карфагена. Дидона — сестра царя финикийского города Тира — переселилась на южное побережье Средиземного моря, где попросила у местного племени участок земли, который можно охватить шкурой быка. Местные жители предоставили шкуру, которую Дидона разрезала на узкие ремни и связала их. Получившимся канатом охватила территорию у побережья. Возникает вопрос о том, как охватить максимальную площадь канатом данной длины.

О решениях

Решением является полуокружность. Обычно решается применением изопериметрического неравенства к кривой, по которой идёт канат и его отражением от линии берега.

Задачу также можно свести к нахождению экстремума функционала

$I[y(x)]=\int \limits _{a}^{b}y(x)\,dx,$

с граничными условиями $y(a)=0,\;y(b)=0$, и при фиксированном параметре (длине)

$l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx,$

где $a$ и $b$ просто точки закрепления каната.

Литература

• Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах // Выпуск 56. — Серия «Библиотечка „Квант“». — М.: Наука, 1986. — 192 с.