Корневой граф

В теории графов корневым графом называется граф, в котором есть одна помеченная вершина. Эту помеченную вершину называют корнем графа.

Число корневых графов для 1, 2, 3, ... вершин равно 1, 2, 6, 20, 90, 544, ... (последовательность A000666 в OEIS).

Корневые графы можно комбинировать с помощью корневого произведения графов.

Корневые деревья

Корневое дерево — дерево, в котором выделена одна вершина (корень дерева). Формально корневое дерево определяется как конечное множество $T$ одного или более узлов со следующими свойствами:

1. существует один корень дерева $T$;
2. остальные узлы (за исключением корня) распределены среди $m\geq 0$ непересекающихся множеств $T_{1},...,T_{m}$, и каждое из множеств является корневым деревом; деревья $T_{1},...,T_{m}$ называются поддеревьями данного корня $T$.

Связанные определения

• Уровень узла — длина пути от корня до узла. Можно определить рекурсивно:

1. уровень корня дерева $T$ равен 0;
2. уровень любого другого узла на единицу больше, чем уровень корня ближайшего поддерева дерева $T$, содержащего данный узел.

• Дерево с отмеченной вершиной называется корневым деревом.
  • $m$-й ярус дерева $T$ — множество узлов дерева, на уровне $m$ от корня дерева.
  • частичный порядок на вершинах: $u\prec v$, если вершины $u$ и $v$ различны и вершина $u$ лежит на (единственной!) элементарной цепи, соединяющей корень с вершиной $v$.
  • корневое поддерево с корнем $v$ — подграф $\{v\}\cup \{w\mid v<w\}$.
  • В контексте, где дерево предполагается имеющим корень, дерево без выделенного корня называется свободным.

Литература

• C. D. Godsil, B. D. McKay. A new graph product and its spectrum // Bull. Austral. Math. Soc. — 1978. — Т. 18, вып. 1. — С. 21—28. — doi:10.1017/S0004972700007760.
• Frank Harary. The number of linear, directed, rooted, and connected graphs // Transactions of the American Mathematical Society. — 1955. — Вып. 78. — С. 445—463. — doi:10.1090/S0002-9947-1955-0068198-2.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Rooted Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.