Критерий Фридмана

Критерий Фридмана (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления $c$ условий измерения ($c\geqslant 3$) для $n$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

Дана выборка из $c$ измерений для каждого из $n$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы:

	Условия
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\dots$	$x_{c1}$
$2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\dots$	$x_{c2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	$x_{1n}$	$x_{2n}$	$\dots$	$x_{cn}$

В качестве нулевой гипотезы $H_{0}$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия». Выбирается уровень значимости $\alpha$, например, $\alpha =0,01$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги $r_{ij}$ объекта $x_{ij}$ при ранжировке $x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}$:

	Ранги
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\dots$	$r_{c1}$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\dots$	$r_{c2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	$r_{1n}$	$r_{2n}$	$\dots$	$r_{cn}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

$R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}$

${\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}$

${\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

$S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}$,

которую можно записать также в виде:

$S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

$S<S_{\alpha }(n,c)$

Для малых значений $n$ и $c$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости $\alpha$ (или доверительной вероятности $1-\alpha$).

При $n\geqslant 13$ и $c\geqslant 20$ применима аппроксимация — $\alpha$-квантиль распределения хи-квадрат с $c-1$ степенями свободы:

$S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации $\alpha$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта.

Примеры

Классические примеры применения:

• $n$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные $n$ сварщиками с использованием $c$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984), а также Коновер (1971, 1980) для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов.

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R и других).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS и R.

Литература

• Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0.
• Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358.
• Friedman, Milton. The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1937. — December (vol. 32, no. 200). — P. 675—701. — doi:10.2307/2279372. — .
• Friedman, Milton. A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1939. — March (vol. 34, no. 205). — P. 109. — doi:10.2307/2279169. — .
• Friedman, Milton. A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings (англ.) // The Annals of Mathematical Statistics : journal. — 1940. — March (vol. 11, no. 1). — P. 86—92. — doi:10.1214/aoms/1177731944. — .