Линейная интерполяция

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом $P_{1}(x)=ax+b$ функции $f(x),$ заданной в двух точках $x_{0}$ и $x_{1}$ отрезка $[a,b]$.

Через две заданные красные точки принадлежащие интерполируемой функции проведена синяя линия — график интерполирующей функции (линейный интерполянт), значение $y$ в произвольной точке $x,$ принадлежащей отрезку, можно найти с помощью формулы линейной интерполяции

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции $f(x)$ прямой, проходящей через точки $\left[x_{0},f(x_{0})\right]$ и $\left[x_{1},f(x_{1})\right]$.

Уравнение такой прямой имеет вид:

${\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},$

отсюда для $x\in [x_{0},x_{1}]:$

$f(x)\approx y=P_{1}(x)=$

$=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом:

$f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x),$

где $R_{1}(x)$ — погрешность формулы линейной интерполяции.

Если интерполируемая функция $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то:

$R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]$

При этом, исходя из теоремы Ролля, справедлива оценка ошибки интерполяции:

$|R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}};$

$M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.$

Применение

На графике — пример кусочно-линейной интерполяции — график заданной функции приближённо представлен в виде ломаной линии

Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции.

Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции.

См. также

• Билинейная интерполяция
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Обратная матрица