Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Логарифмическое распределение
Обозначение	$\mathrm {Log} (p)$
Параметры	$0<p<1$
Носитель	$k\in \{1,2,3,\dots \}$
Функция вероятности	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}$
Функция распределения	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
Математическое ожидание	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}$
Мода	$1$
Дисперсия	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}$
Производящая функция моментов	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}$
Характеристическая функция	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}$

Определение

Пусть распределение случайной величины $Y$ задаётся функцией вероятности:

$p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots$,

где $0<p<1$. Тогда говорят, что $Y$ имеет логарифмическое распределение с параметром $p$. Пишут: $Y\sim \mathrm {Log} (p)$.

Функция распределения случайной величины $Y$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

$F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,$

где $\mathrm {B} _{p}$ — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция $p_{Y}(k)$ действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

$\ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k}};0<p<1$,

откуда

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины $Y\sim \mathrm {Log} (p)$ задаётся формулой

$M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}$,

откуда

$\mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$,

$\mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть $\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots$. Пусть $N\sim \mathrm {P} (\lambda )$ — Пуассоновская случайная величина. Тогда

$Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB}$.

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.