Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу ) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с
n
{\displaystyle n}
неизвестными (над произвольным полем):
{
a
11
x
1
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
,
a
n
1
x
1
+
…
+
a
n
n
x
n
=
b
n
;
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}}
Тогда её можно переписать в матричной форме:
A
X
=
B
{\displaystyle AX=B}
, где
A
{\displaystyle A}
— основная матрица системы,
B
{\displaystyle B}
и
X
{\displaystyle X}
— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
A
=
(
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
)
,
B
=
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
,
X
=
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}},X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
Умножим это матричное уравнение слева на
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
— матрицу, обратную к матрице
A
{\displaystyle A}
:
A
−
1
(
A
X
)
=
A
−
1
B
{\displaystyle A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}B}
Так как
A
−
1
A
=
E
{\displaystyle A^{-1}A=E}
, получаем
X
=
A
−
1
B
{\displaystyle X=A^{-1}B}
. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы.
Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:
det
A
≠
0
{\displaystyle \det A\neq 0}
.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор
B
=
0
{\displaystyle B=0}
, действительно обратное правило: система
A
X
=
0
{\displaystyle AX=0}
имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если
det
A
=
0
{\displaystyle \det A=0}
. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма .
Пример решения неоднородной СЛАУ
править
{
3
x
+
2
y
−
z
=
4
,
2
x
−
y
+
5
z
=
23
,
x
+
7
y
−
z
=
5
;
{\displaystyle {\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases}}}
Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.
|
3
2
−
1
2
−
1
5
1
7
−
1
|
=
3
−
14
+
10
−
1
−
105
+
4
=
−
103
;
{\displaystyle {\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;}
Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы .
A
11
=
(
−
1
)
1
+
1
⋅
|
−
1
5
7
−
1
|
=
−
34
;
{\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;}
A
12
=
(
−
1
)
1
+
2
⋅
|
2
5
1
−
1
|
=
7
;
{\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;}
A
13
=
(
−
1
)
1
+
3
⋅
|
2
−
1
1
7
|
=
15
;
{\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;}
A
21
=
(
−
1
)
2
+
1
⋅
|
2
−
1
7
−
1
|
=
−
5
;
{\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;}
A
22
=
(
−
1
)
2
+
2
⋅
|
3
−
1
1
−
1
|
=
−
2
;
{\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;}
A
23
=
(
−
1
)
2
+
3
⋅
|
3
2
1
7
|
=
−
19
;
{\displaystyle A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;}
A
31
=
(
−
1
)
3
+
1
⋅
|
2
−
1
−
1
5
|
=
9
;
{\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;}
A
32
=
(
−
1
)
3
+
2
⋅
|
3
−
1
2
5
|
=
−
17
;
{\displaystyle A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;}
A
33
=
(
−
1
)
3
+
3
⋅
|
3
2
2
−
1
|
=
−
7
;
{\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;}
Далее найдём присоединённую матрицу , транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы .
C
∗
=
(
−
34
7
15
−
5
−
2
−
19
9
−
17
−
7
)
;
{\displaystyle C^{*}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}};}
(
C
∗
)
T
=
(
−
34
−
5
9
7
−
2
−
17
15
−
19
−
7
)
;
{\displaystyle (C^{*})^{T}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}};}
A
−
1
=
1
det
A
⋅
(
C
∗
)
T
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{*})^{T}}
Подставляя переменные в формулу, получаем:
A
−
1
=
1
−
103
⋅
(
−
34
−
5
9
7
−
2
−
17
15
−
19
−
7
)
=
(
34
103
5
103
−
9
103
−
7
103
2
103
17
103
−
15
103
19
103
7
103
)
;
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}};}
Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.
X
=
A
−
1
⋅
B
;
{\displaystyle X=A^{-1}\cdot B;}
X
=
(
34
103
5
103
−
9
103
−
7
103
2
103
17
103
−
15
103
19
103
7
103
)
⋅
(
4
23
5
)
=
(
2
1
4
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}}
Итак, x = 2; y = 1; z = 4.