Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) - безарбитражная диффузионная однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счет переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учетом начальной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).

Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.

Математическая модель

Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

$dr_{t}=k\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}$

где для соблюдения требования безарбитражности динамики выполнено равенство

$\theta _{t}=f(0,t)+{\partial _{t}f(0,t) \over k}+{{\sigma }^{2} \over {2k^{2}}}(1-e^{-2kt})$, где $f(0,t)$ - функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени

Данная модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)=\sigma e^{-k(T-t)}$

Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:

$r_{t}=e^{-kt}r_{0}+\int _{0}^{t}e^{k(s-t)}\theta _{s}ds+\sigma e^{-kt}\int _{0}^{t}e^{ku}\,dW_{u},$

Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:

$r_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-kt}r(0)+\int _{0}^{t}e^{k(s-t)}\theta _{s}ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2k}}\left(1-e^{-2kt}\right)\right).$

Обобщенная модель Халла-Уайта

Обобщенная модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров $k$ и $\sigma$ представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

$dr_{t}=k_{t}\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$

где $\theta _{t}=f(0,t)+{{\partial _{t}f(0,t)} \over {k_{t}}}+{1 \over {k_{t}}}\int _{0}^{t}{\sigma }_{u}^{2}e^{-2\int _{0}^{u}k_{s}ds}du$

Данная модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)=\sigma _{t}e^{-k_{t}(T-t)}$

Специальное представление модели

В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния $Z_{t}$, удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению

$dZ_{t}=-k_{t}Z_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}$

а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом

$r_{t}=f(0,t)+Z_{t}+H(t,t)$, где функция $H(t,T)=\int _{0}^{t}\sigma (u,T)\sigma _{P}(u,T)du$, где $\sigma _{P}(u,T)=\int _{u}^{T}\sigma (u,s)du$

при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:

$f(t,T)=f(0,t)+H(t,T)+Z_{t}e^{-\int _{t}^{T}k_{s}ds}$

Стоимость дисконтных облигаций и кривая доходности

Если в вышеприведенной форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует ,что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:

$P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_{t}},$

где

$B(t,T)={\frac {1-e^{-k(T-t)}}{k}}$

$A(t,T)=\ln {\frac {P(0,T)}{P(0,t)}}-B(t,T){\frac {\partial \ln P(0,t)}{\partial t}}-{[B(t,T)]}^{2}{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{-2kt})}{4k}}.$

где $P(0,t),P(0,T)$ - значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учетом фактической кривой в этот момент времени) для сроков $t,T$

См.также

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса
• Модель HJM