Моменты случайной величины

Для термина «Момент» см. также другие значения.

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Происхождение понятия

Момент в математике — прямая аналогия с понятием момента в физике и механике. В математике моменты функции — это количественные измерения, связанные с формой графика функции. Например, если функция представляет собой распределение вероятностей, то первый момент — это ожидаемое значение, второй центральный момент (англ.) — это дисперсия, третий стандартизированный момент (англ.) — это асимметрия, а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс. Если функция описывает плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормализованный по полной массе) — это центр масс, а второй момент — это момент инерции.

Определения

Если дана случайная величина $\displaystyle X,$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• $\displaystyle k$-м нача́льным моментом случайной величины $\displaystyle X,$ где $k\in \mathbb {N} ,$ называется величина

$\nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],$

если математическое ожидание $\mathbb {E} [*]$ в правой части этого равенства определено;

• $\displaystyle k$-м центра́льным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],$

• $\displaystyle k$-м абсолю́тным и $\displaystyle k$-м центральным абсолютным моментами случайной величины $\displaystyle X$ называется соответственно величины

$\nu _{k}=\mathbb {E} \left[|X|^{k}\right]$ и $\mu _{k}=\mathbb {E} \left[|X-\mathbb {E} X|^{k}\right],$

• $\displaystyle k$-м факториальным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых, но и для любых положительных действительных чисел $k$ в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания

• Если определены моменты $\displaystyle k$-го порядка, то определены и все моменты низших порядков $1\leqslant k'<k.$
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные:

  $\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{k-s}\nu _{1}^{s}}$.

Геометрический смысл некоторых моментов

• $\displaystyle \mu _{2}$ равняется дисперсии распределения $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• $\displaystyle \mu _{3}$, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

${\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}$

называется коэффициентом асимметрии.

• $\displaystyle \mu _{4}$ показывает, насколько тяжелые у распределения хвосты. Величина

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

называется коэффициентом эксцесса распределения $\displaystyle X.$

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $\displaystyle f(x)$ имеем:

$\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,$

если $\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },$

а для дискретного распределения с функцией вероятности $\displaystyle p(x):$

$\nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),$

если $\nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через её характеристическую функцию $\displaystyle \phi (t)$:

$\nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t=0}.$

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов $\displaystyle M(t),$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

$\nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\right\vert _{t=0}.$

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения $k$. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента $k$, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

См. также

• Момент изображения