Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (
H
O
K
{\displaystyle \mathrm {HOK} }
) двух целых чисел
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
есть наименьшее натуральное число , которое делится на
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
без остатка, то есть кратно им обоим. Обозначается одним из следующих способов:
H
O
K
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}
;
[
m
,
n
]
{\displaystyle [m,n]}
;
L
C
M
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {LCM} (m,n)}
или
l
c
m
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)}
(от англ. least common multiple ).
Пример:
H
O
K
(
16
,
20
)
=
80
{\displaystyle \mathrm {HOK} (16,20)=80}
.
Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.
Одно из наиболее частых применений
H
O
K
{\displaystyle \mathrm {HOK} }
— приведение дробей к общему знаменателю .
Коммутативность :
l
c
m
(
a
,
b
)
=
l
c
m
(
b
,
a
)
{\displaystyle \mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)}
.
Ассоциативность :
l
c
m
(
a
,
l
c
m
(
b
,
c
)
)
=
l
c
m
(
l
c
m
(
a
,
b
)
,
c
)
{\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)}
.
Связь с наибольшим общим делителем
g
c
d
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {gcd} (a,b)}
:
lcm
(
a
,
b
)
=
|
a
⋅
b
|
gcd
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.}
В частности, если
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
— взаимно-простые числа , то
lcm
(
a
,
b
)
=
a
⋅
b
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=a\cdot b.}
lcm
(
a
1
n
,
a
2
n
,
.
.
.
,
a
k
n
)
=
(
lcm
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
k
)
)
n
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},...,a_{k}))^{n}}
при
n
⩾
0.
{\displaystyle n\geqslant 0.}
Наименьшее общее кратное двух целых чисел
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
является делителем всех других общих кратных
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
. Более того, множество общих кратных
m
{\displaystyle m}
,
n
{\displaystyle n}
совпадает с множеством кратных для
H
O
K
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}
.
Асимптотики для
lcm
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)}
могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так:
функция Чебышёва
ψ
(
x
)
=
ln
lcm
(
1
,
2
,
…
,
⌊
x
⌋
)
;
{\displaystyle \psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );}
lcm
(
1
,
2
,
…
,
n
)
⩽
g
(
n
(
n
+
1
)
2
)
∼
e
n
(
n
+
1
)
2
ln
n
(
n
+
1
)
2
,
{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim e^{\sqrt {{\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},}
что следует из определения и свойств функции Ландау
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
;
lcm
(
1
,
2
,
…
,
n
)
∼
e
n
+
o
(
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)},}
что следует из закона распределения простых чисел .
Нахождение НОК
править
H
O
K
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}
можно вычислить несколькими способами.
1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с
H
O
K
{\displaystyle \mathrm {HOK} }
:
lcm
(
a
,
b
)
=
|
a
⋅
b
|
gcd
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
a
=
p
1
d
1
⋅
⋯
⋅
p
k
d
k
,
{\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}
b
=
p
1
e
1
⋅
⋯
⋅
p
k
e
k
,
{\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}
где
p
1
,
…
,
p
k
{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}
— различные простые числа, а
d
1
,
…
,
d
k
{\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}}
и
e
1
,
…
,
e
k
{\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}
— неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда
H
O
K
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}
вычисляется по формуле:
lcm
(
a
,
b
)
=
p
1
max
(
d
1
,
e
1
)
⋅
⋯
⋅
p
k
max
(
d
k
,
e
k
)
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}
Другими словами, разложение
H
O
K
{\displaystyle \mathrm {HOK} }
содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел
a
,
b
{\displaystyle a,b}
, причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бóльшего количества чисел:
56
=
2
3
⋅
3
0
⋅
7
1
{\displaystyle 56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1}}
9
=
2
0
⋅
3
2
⋅
7
0
{\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0}}
21
=
2
0
⋅
3
1
⋅
7
1
.
{\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.}
lcm
(
56
,
9
,
21
)
=
2
3
⋅
3
2
⋅
7
1
=
8
⋅
9
⋅
7
=
504.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.}
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям
H
O
K
{\displaystyle \mathrm {HOK} }
от двух чисел:
lcm
(
a
,
b
,
c
)
=
lcm
(
lcm
(
a
,
b
)
,
c
)
;
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b,c)=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c);}
lcm
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
=
lcm
(
lcm
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
)
,
a
n
)
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}