Ортогональная система координат

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

,

где  - размерность пространства. Скалярный фактор

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора .

В ортогональных системах координат координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси , и .

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

править

Базисные векторы

править

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

 

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых  .

Для нормированных базисных векторов  , где   — символ Кронекера.

Скалярное произведение

править

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

 .