Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$ со значениями в этом поле, если она линейная как функция $x$ при каждом фиксированном $y$ и полулинейная как функция $y$ при каждом фиксированном $x$. Требование полулинейности по $y$ означает, что выполнены следующие условия:

• $f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,$
• $f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом $K$.

Договорённости о порядке аргументов

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу, эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространстве

Отображение $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ в комплексном векторном пространстве $V$ называется полуторалинейным, если:

${\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}$

для всех $x,y,z,w\in V$ и всех $a,b\in \mathbb {C} .$ Здесь под ${\overline {b}}$ подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу $b.$

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение

$$V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,$$

где ${\overline {V}}$ — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству $V.$

Для фиксированного $w\in V$ отображение $z\mapsto \varphi (z,w)$ является линейным функционалом на $V$, то есть элементом двойственного пространства $V^{*}$. Аналогично, отображение $w\mapsto \varphi (z,w)$ при фиксированном $z$ является антилинейным функционалом на $V.$

Для любой комплексной полуторалинейной формы $\varphi$ можно рассмотреть вторую форму $\psi$ по формуле:

$$\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.$$

В общем случае $\psi$ и $\varphi$ будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что $\varphi$ эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что $\varphi$ косоэрмитова.

Матричное представление

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса $\left\{e_{i}\right\}_{i}$ полуторалинейную форму $\varphi$ можно представить при помощи матрицы $\Phi$ по следующей формуле:

$$\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T} }\Phi {\overline {z}}.$$

Элементы матрицы $\Phi$ определяются из условия $\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).$

Эрмитовы формы

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма $h:V\times V\to \mathbb {C}$ на комплексном пространстве $V$ такая, что

$$h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.$$

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой

$$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.$$

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы $(V,h)$ называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору

$$|z|_{h}=h(z,z)$$

всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех $z\in V.$

Косоэрмитовы формы

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма $s:V\times V\to \mathbb {C}$ на комплексном пространстве $V$ такая, что

$$s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.$$

Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на $i$.

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору

$$|z|_{s}=s(z,z)$$

всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делением

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

Определение

Пусть $K$ — кольцо с делением, а $\sigma$ — фиксированный антиавтоморфизм этого кольца. Тогда $\sigma$-полуторалинейная форма на левом $K$-модуле $M$ — это билинейное отображение $\varphi \colon M\times M\to K$ такое, что для любых $x,y$ из модуля $M$ и любых скаляров $\alpha ,\beta$ из $K$ выполнено:

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).$

Ортогональное дополнение

Для данной полуторалинейной формы $\varphi$ на модуле $M$ и подмодуля $W$ модуля $M$ ортогональным дополнением $W$ называется

$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.$

Аналогично, говорят, что элемент $x\in M$ ортогонален элементу $y\in M$ по отношению к форме $\varphi$, если $\varphi (x,y)=0$. Это обозначают как $x\perp _{\varphi }y$, или просто $x\perp y$, если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из $x\perp y$ не следует $y\perp x$. Если для всех $x,y$ из $x\perp y$ следует $y\perp x$, то форму называют рефлексивной.

Пример

Пусть $V$ — трёхмерное векторное пространство над конечным полем $F=\operatorname {GF} (q^{2})$, где $q$ — степень простого числа. Пусть два вектора $x$ и $y$ заданы координатами в стандартном базисе $(x_{1},x_{2},x_{3})$ и $y_{1},y_{2},y_{3}$. Тогда можно определить отображение $\varphi$ формулой:

$\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.$

Отображение $\sigma :t\mapsto t^{q}$ — автоморфизм $F$, являющийся инволюцией. Отображение $\varphi$ является $\sigma$-полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица $M_{\varphi }$, соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.

См. также

• Билинейная форма
• Линейная форма
• Эрмитова форма
• *-алгебра

Литература

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ресурсы

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Sesquilinear form", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4