Теорема Колмогорова о двух рядах

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задаёт достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Для сходимости с вероятностью единица ряда $\sum \xi _{n}$ из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: $\sum M\xi _{n}$ и $\sum D\xi _{n}$. Если к тому же $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$, то это условие является и необходимым.

Доказательство

Если $\sum D\xi _{n}<\infty$, то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ сходится. Но по предположению ряд $M\xi _{n}$ сходится, поэтому сходится и ряд $\sum \xi _{n}$.

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью $\xi _{1},\xi _{2}...$ рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ таких, что $\xi _{n}^{'}$ имеет то же распределение, что и $\xi _{n},n\geqslant 1$.

Тогда, если сходится ряд $\sum \xi _{n}$, то сходится и ряд $\sum \xi _{n}^{'}$, а значит, и ряд $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$. Но $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ и $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$.

Далее $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$, а значит, сходится и ряд $\sum M\xi _{n}$.

Итак, из сходимости ряда $\sum \xi _{n}$ (в предположении $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ вытекает, что оба ряда $\sum M\xi _{n}$ и $\sum D\xi _{n}$ сходятся.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)