Теорема Пуассона

Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.

Формулировка

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_{n}$ — вероятность «успеха», $\mu _{n}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;$
2. $\lambda >0,$

то $\lim _{n\to \infty }P{\bigl (}\omega :\mu _{n}(\omega )=m{\bigr )}=e^{-\lambda }\,{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$

Доказательство

Используя формулу Бернулли, при $n\to \infty$ запишем, что

${\begin{aligned}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)&=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p_{n})^{n-m}={}\\{}&={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}\,{\Biggl (}{\frac {\lambda }{n}}+o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{m}{\Biggl (}1-{\frac {\lambda }{n}}-o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{n-m}={}\\{}&={\frac {1}{m!}}\,{\frac {(n-m+1)(n-m+2)\cdots n}{n^{m}}}\,{\bigl (}\lambda +o(\lambda ){\bigr )}^{m}{\Biggl (}1-{\frac {\lambda }{n}}-o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{n-m},\end{aligned}}$

Обратим внимание, что $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\iff \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}$, где $o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}$ — такая функция, что $\lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.$

Но так как

1. $\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-m+1)(n-m+2)\cdots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n-m+1}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n-m+2}{n}}{\bigg )}\cdots {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n}{n}}{\bigg )}=1;$
2. $\lim _{n\to \infty }{\bigl (}\lambda +o(\lambda ){\bigr )}^{m}=\lambda ^{m};$
3. $\lim _{n\to \infty }{\Biggl (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\Biggr )}^{n-m}=e^{-\lambda },$

то полученное равенство превращается в

$\lim _{n\to \infty }P{\bigl (}\omega :\mu _{n}(\omega )=m{\bigr )}=e^{-\lambda }\,{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$

Q.E.D.