Теорема Штольца

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.

Формулировка

Пусть $a_{n}$ и $b_{n}$ — две последовательности вещественных чисел, причём $b_{n}$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}$,

то существует и предел

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$,

причём эти пределы равны.

Доказательство

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу, другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова.

Допустим сначала, что предел равен конечному числу $L$, тогда для любого заданного $\varepsilon >0$ существует такой номер $N>0$, что при $n>N$ будет иметь место:

$L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}<L+{\frac {\varepsilon }{2}}$.

Значит, для любого $n>N$ все дроби:

${\frac {a_{N+1}-a_{N}}{b_{N+1}-b_{N}}},{\frac {a_{N+2}-a_{N+1}}{b_{N+2}-b_{N+1}}},...,{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}$

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности $b_{n}$), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

${\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}$,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при $n>N$:

$\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)$,

откуда имеем

$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|$.

Второе слагаемое при $n>N$ становится меньше ${\frac {\varepsilon }{2}}$, первое слагаемое также станет меньше ${\frac {\varepsilon }{2}}$, при $n>M$, где $M$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что $b_{n}\to +\infty$. Если взять $M>N$, то при $n>M$ будем иметь

$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon$,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=+\infty$,

из этого следует, что при достаточно больших $n$:

$a_{n}-a_{n-1}>b_{n}-b_{n-1}$ и

$\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$,

причём последовательность $a_{n}$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению $b_{n} \over a_{n}$:

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=0$,

откуда и следует, что:

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$.

Если предел равен $-\infty$, то нужно рассмотреть последовательность $\{-a_{n}\}$.

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность $a_{n}$ сходится к числу $a$, то последовательность средних арифметических ${\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$ сходится к этому же числу.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — С. 78—79.
• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 43—44. — ISBN 5-06-003596-4.