Фазовый интеграл

Фазовый интеграл (англ. phase integral) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 1960-х годов. Подобно интегралу по траекториям этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы приводит к смещению фазы:

$\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{S}(\mathbf {A} ,d\mathbf {l} ),$

где $e$ — заряд электрона, $c$ — скорость света в вакууме, $\hbar$ — приведённая постоянная Планка, $\mathbf {A}$ — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и $d\mathbf {l}$ — элемент траектории движения частицы.

Дифференциальное изменение фазы

На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала $A$ (а значит, и магнитного поля $B$), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала $A$ мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к $2\pi$. Например, в интерферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля $\Delta B$. Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы $\delta (\Delta \varphi _{H})$ при наличии периодичности магнитного поля с периодом $\Delta B$ (а значит и $\Delta A$). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:

$\delta (\Delta \varphi _{H})={\frac {e}{\hbar c}}\delta \int _{S}(\mathbf {A} ,\;d\mathbf {l} )={\frac {e}{\hbar c}}\Delta A\cdot \Delta S,$

где $\Delta S=2\pi \Delta l_{B}$ — длина контура обхода, обусловленного периодичностью $\Delta B$, а $\Delta l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{e\Delta B}}}$ — магнитная длина, обусловленная периодичностью $\Delta B$. Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:

$\delta (\Delta \varphi _{H})={\frac {2\pi }{c}}{\frac {e}{\hbar }}{\frac {\Delta A}{\sqrt {\Delta B}}}=2\pi f_{\mathrm {ph} }.$

Конечно, нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля $\Delta B$:

$f_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{2\pi }}\delta (\Delta \varphi _{H})=k_{\mathrm {ph} }{\frac {\Delta A}{\sqrt {\Delta B}}},$

где $k_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{c}}{\sqrt {\frac {e}{\hbar }}}=0{,}130\;015\;34$ Тл^1/2В⁻¹ — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле $\Delta B$, а потенциал $\Delta A$ находится только путём расчётов при определённых допущениях.

Изменение фазы в «квантовой антиточке»

Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле $B$, но и электрическое поле $E$, но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Годмана впервые начался учёт электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе $V_{\mathrm {bg} }$, а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле $\Delta B$, и электрическое поле $\Delta V_{\mathrm {bg} }$ квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).

Не менее очевидно, что и магнитный потенциал $\Delta A$ должен коррелировать определённым образом с изменением электрического поля $\Delta V_{\mathrm {bg} }$. Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить, что они равны по величине:

$\Delta A=\Delta V_{\mathrm {bg} }.$

Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:

Фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью электромагнитного поля

$\Delta B$, Тл	$\Delta V_{\mathrm {bg} }$, В	$\Delta B/\Delta V_{\mathrm {bg} }$, Тл/B	$f_{\mathrm {ph} }$	$[f_{\mathrm {ph} }]$	$f$	рисунок	источник
$2{,}118\cdot 10^{-2}$	0,882	$2{,}401\cdot 10^{-2}$	0,788	4/5	2/5	Fig. 10	Goldman [1]
$2{,}79\cdot 10^{-3}$	0,325	$8{,}585\cdot 10^{-3}$	0,800	4/5	1	Fig. 2.a, c	Goldman [2]
$1{,}428\cdot 10^{-3}$	0,3421	$4{,}174\cdot 10^{-3}$	1,177	6/5	2	Fig. 2.b, d	Goldman [2]
$2{,}00\cdot 10^{-2}$	0,882	$2{,}267\cdot 10^{-2}$	0,811	4/5	2/5	Fig. 3	Goldman [2]
$2{,}00\cdot 10^{-2}$	0,882	$2{,}267\cdot 10^{-2}$	0,811	4/5	2/5	Fig. 2	Goldman [3]
$2{,}692\cdot 10^{-3}$	0,1154	$2{,}333\cdot 10^{-2}$	0,289	1/3	1/3	Fig. 3.b	Goldman [4]
$2{,}351\cdot 10^{-3}$	0,3143	$7{,}480\cdot 10^{-3}$	0,841	4/5	1	Fig. 3.a	Goldman [4]
$2{,}692\cdot 10^{-3}$	0,1308	$2{,}058\cdot 10^{-2}$	0,328	1/3	1/3	Fig. 5.b	Goldman [5]
$2{,}357\cdot 10^{-3}$	0,3214	$7{,}334\cdot 10^{-3}$	0,861	4/5	1	Fig. 5.a	Goldman [5]
$2{,}692\cdot 10^{-3}$	0,1308	$2{,}058\cdot 10^{-2}$	0,328	1/3	1/3	Fig. 4.b	Goldman [6]
$2{,}357\cdot 10^{-3}$	0,314	$7{,}506\cdot 10^{-3}$	0,861	4/5	1	Fig. 4.a	Goldman [6]
$2{,}615\cdot 10^{-3}$	0,11154	$2{,}344\cdot 10^{-2}$	0,293	1/3	1/3	Fig. 3.b	Goldman [7]
$2{,}357\cdot 10^{-3}$	0,314	$7{,}506\cdot 10^{-3}$	0,861	4/5	1	Fig. 3.a	Goldman [7]
$7{,}143\cdot 10^{-4}$	0,3846	$1{,}857\cdot 10^{-3}$	1,871	9/5	4	Fig. 4(5)	Goldman [8]
$1{,}85\cdot 10^{-3}$	0,35	$5{,}286\cdot 10^{-3}$	1,058	1	2	Fig. 4(5)	Goldman [8]
$2{,}96\cdot 10^{-3}$	0,2077	$1{,}425\cdot 10^{-2}$	0,496	1/2	1	Fig. 4(5)	Goldman [8]

Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.

См. также

• Эффект Ааронова — Бома

Литература

• Давыдов А. С. Квантовая механика. — изд 2-е. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 5-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1967. — 460 с. — («Теоретическая физика», том II).
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966. — 344 с.
• Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.

1. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Realization of a Laughlin quasiparticle interferometer: Observation of fractional statistics. Препринт (2005).
2. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Aharonov-Bohm Superperiod in a Laughlin Quasiparticle Interferometer // Phys. Rev. Lett. 95, 246802 (2005). Препринт (2005).
3. Goldman V. J., Camino F. E. and Wei Zhou Realization of a Laughlin Quasiparticle Interferometer: Observation of Anyonic Statistics. CP 850, Low Temperature Physics: 24 International Conference on Low Temperature Physics; edited by Y. Takano, S. P. Herschfeld, and A. M. Goldman. 2006 American Institute of Physics. 0-7354-0347-3/06.
4. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Primary-Filling e/3 Quasiparticle Interferometer. Препринт (2006).
5. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of a primary-filling e/3 quasiparticle interferometer. Препринт (2006).
6. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of Laughlin quasiparticle interferometers. Physica E 40 (2008), 949—953
7. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. e/3 Laughlin Quasiparticle Primary-Filling 1/3 Interferometer // Phys. Rev. Lett. 98, 076805 (2007).
8. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Quantum transport in electron Fabry-Perot interferometers". Препринт (2007).