Факторизация гауссовых чисел

Факторизация гауссовых чисел — разложение целых гауссовых чисел на простые гауссовы множители.

Предварительные замечания

править

Особенность делимости в кольце гауссовых чисел   отличающая её от делимости натуральных чисел: кольцо   содержит четыре делителя единицы   норма которых (квадрат комплексного модуля) равна 1. Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности[1]. Пример: гауссовы числа   и   ассоциированы, поскольку:

 .

У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним, и делители у них у всех совпадают. Все делители чисел также определены с точностью до ассоциированности.

Для гауссовых чисел имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей[2].

Пример:  . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы:   так что однозначность не нарушается.

Алгоритм разложения гауссового числа на простые множители

править

Чтобы практически разложить гауссово число   на простые множители, можно использовать следующее их свойство: все делители гауссова числа   являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к   числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа   на простые натуральные множители[3].

  1. Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как  . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые   делится нацело.
  2. Кроме числа 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида   является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму  , но и само  . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число  . Отсюда вытекает, что множитель вида   входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого   — в степени, вдвое меньшей.
  3. Множитель вида  , согласно теореме Ферма — Эйлера, можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители   (норма — 225) выделяются простые натуральные множители:  . По предыдущему,  . При этом   делится только на   и не делится на  . Частное от деления   на   равно   поэтому окончательный результат:

 .

Таблица разложения гауссовых чисел с нормой до 1000

править

Соглашения

править

Данная таблица показывает для всех гауссовых чисел с нормой от 2 до 1000, является ли это число простым гауссовым. Если да, то такое число помечено в таблице кодом: простое, а если нет, то приводится его разложение на простые гауссовы множители. Отметим, что простое натуральное число не обязано быть простым гауссовым числом; например, числа 2 и 5 как гауссовы числа не являются простыми:  

В первой колонке таблицы — норма гауссова числа (не всякое натуральное число может быть нормой гауссова числа). Во второй — числа, имеющие эту норму, с точностью до ассоциированности — из 4 чисел, ассоциированных с числом x: ( ) в таблице представлено одно, у которого вещественная часть положительна, а мнимая — неотрицательна. Например, во второй строке таблицы разложение числа   охватывает также разложения  

Каждое разложение, показанное в строке таблицы, имеет ещё по крайней мере три варианта, получаемых заменой простых множителей на ассоциированные с ними. Пример:

 

Поэтому принято следующее соглашение: из 4 вариаций каждого простого множителя представлена та, что находится в правой полуплоскости комплексной плоскости, и у которой абсолютное значение вещественной части не меньше, чем абсолютное значение мнимой части.

Гауссовы числа упорядочены по возрастанию их нормы (последовательность A001481 в OEIS). Не всякое натуральное число может быть гауссовой нормой (см. A055025, A103431 и A103432).

Таблица факторизации

править
Норма Число Разложение
2 1+i простое
4 2 i·(1+i)2
5 2+i
1+2i
простое
простое
8 2+2i i·(1+i)3
9 3 простое
10 1+3i
3+i
(1+i)·(2+i)
(1+i)·(2−i)
13 3+2i
2+3i
простое
простое
16 4 −(1+i)4
17 1+4i
4+i
простое
простое
18 3+3i (1+i)·3
20 2+4i
4+2i
(1+i)2·(2−i)
i·(1+i)2·(2+i)
25 3+4i
4+3i
5
(2+i)2
i·(2−i)2
(2+i)·(2−i)
26 1+5i
5+i
(1+i)·(3+2i)
(1+i)·(3−2i)
29 2+5i
5+2i
простое
простое
32 4+4i −(1+i)5
34 3+5i
5+3i
(1+i)·(4+i)
(1+i)·(4−i)
36 6 i·(1+i)2·3
37 1+6i
6+i
простое
простое
40 2+6i
6+2i
i·(1+i)3·(2+i)
i·(1+i)3·(2−i)
41 4+5i
5+4i
простое
простое
45 3+6i
6+3i
i·(2−i)·3
(2+i)·3
49 7 простое
50 1+7i
5+5i
7+i
i·(1+i)·(2−i)2
(1+i)·(2+i)·(2−i)
i·(1+i)·(2+i)2
52 4+6i
6+4i
(1+i)2·(3−2i)
i·(1+i)2·(3+2i)
53 2+7i
7+2i
простое
простое
58 3+7i
7+3i
(1+i)·(5+2i)
(1+i)·(5−2i)
61 5+6i
6+5i
простое
простое
64 8 i·(1+i)6
65 1+8i
4+7i
7+4i
8+i
i·(2+i)·(3−2i)
(2+i)·(3+2i)
i·(2−i)·(3−2i)
(2−i)·(3+2i)
68 2+8i
8+2i
(1+i)2·(4−i)
i·(1+i)2·(4+i)
72 6+6i i·(1+i)3·3
73 3+8i
8+3i
простое
простое
74 5+7i
7+5i
(1+i)·(6+i)
(1+i)·(6−i)
80 4+8i
8+4i
i·(1+i)4·(2−i)
−(1+i)4·(2+i)
81 9 32
82 1+9i
9+i
(1+i)·(5+4i)
(1+i)·(5−4i)
85 2+9i
6+7i
7+6i
9+2i
i·(2−i)·(4+i)
i·(2−i)·(4−i)
(2+i)·(4+i)
(2+i)·(4−i)
89 5+8i
8+5i
простое
простое
90 3+9i
9+3i
(1+i)·(2+i)·3
(1+i)·(2−i)·3
97 4+9i
9+4i
простое
простое
98 7+7i (1+i)·7
100 6+8i
8+6i
10
i·(1+i)2·(2+i)2
(1+i)2·(2−i)2
i·(1+i)2·(2+i)·(2−i)
101 1+10i
10+i
простое
простое
104 2+10i
10+2i
i·(1+i)3·(3+2i)
i·(1+i)3·(3−2i)
106 5+9i
9+5i
(1+i)·(7+2i)
(1+i)·(7−2i)
109 3+10i
10+3i
простое
простое
113 7+8i
8+7i
простое
простое
116 4+10i
10+4i
(1+i)2·(5−2i)
i·(1+i)2·(5+2i)
117 6+9i
9+6i
i·3·(3−2i)
3·(3+2i)
121 11 простое
122 1+11i
11+i
(1+i)·(6+5i)
(1+i)·(6−5i)
125 2+11i
5+10i
10+5i
11+2i
(2+i)3
i·(2+i)·(2−i)2
(2+i)2·(2−i)
i·(2−i)3
128 8+8i i·(1+i)7
130 3+11i
7+9i
9+7i
11+3i
i·(1+i)·(2−i)·(3−2i)
(1+i)·(2−i)·(3+2i)
(1+i)·(2+i)·(3−2i)
i·(1+i)·(2+i)·(3+2i)
136 6+10i
10+6i
i·(1+i)3·(4+i)
i·(1+i)3·(4−i)
137 4+11i
11+4i
простое
простое
144 12 −(1+i)4·3
145 1+12i
8+9i
9+8i
12+i
i·(2−i)·(5+2i)
(2+i)·(5+2i)
i·(2−i)·(5−2i)
(2+i)·(5−2i)
146 5+11i
11+5i
(1+i)·(8+3i)
(1+i)·(8−3i)
148 2+12i
12+2i
(1+i)2·(6−i)
i·(1+i)2·(6+i)
149 7+10i
10+7i
простое
простое
153 3+12i
12+3i
i·3·(4−i)
3·(4+i)
157 6+11i
11+6i
простое
простое
160 4+12i
12+4i
−(1+i)5·(2+i)
−(1+i)5·(2−i)
162 9+9i (1+i)·32
164 8+10i
10+8i
(1+i)2·(5−4i)
i·(1+i)2·(5+4i)
169 5+12i
12+5i
13
(3+2i)2
i·(3−2i)2
(3+2i)·(3−2i)
170 1+13i
7+11i
11+7i
13+i
(1+i)·(2+i)·(4+i)
(1+i)·(2+i)·(4−i)
(1+i)·(2−i)·(4+i)
(1+i)·(2−i)·(4−i)
173 2+13i
13+2i
простое
простое
178 3+13i
13+3i
(1+i)·(8+5i)
(1+i)·(8−5i)
180 6+12i
12+6i
(1+i)2·(2−i)·3
i·(1+i)2·(2+i)·3
181 9+10i
10+9i
простое
простое
185 4+13i
8+11i
11+8i
13+4i
i·(2−i)·(6+i)
i·(2−i)·(6−i)
(2+i)·(6+i)
(2+i)·(6−i)
193 7+12i
12+7i
простое
простое
194 5+13i
13+5i
(1+i)·(9+4i)
(1+i)·(9−4i)
196 14 i·(1+i)2·7
197 1+14i
14+i
простое
простое
200 2+14i
10+10i
14+2i
(1+i)3·(2−i)2
i·(1+i)3·(2+i)·(2−i)
−(1+i)3·(2+i)2
202 9+11i
11+9i
(1+i)·(10+i)
(1+i)·(10−i)
205 3+14i
6+13i
13+6i
14+3i
i·(2+i)·(5−4i)
(2+i)·(5+4i)
i·(2−i)·(5−4i)
(2−i)·(5+4i)
208 8+12i
12+8i
i·(1+i)4·(3−2i)
−(1+i)4·(3+2i)
212 4+14i
14+4i
(1+i)2·(7−2i)
i·(1+i)2·(7+2i)
218 7+13i
13+7i
(1+i)·(10+3i)
(1+i)·(10−3i)
221 5+14i
10+11i
11+10i
14+5i
i·(3−2i)·(4+i)
(3+2i)·(4+i)
i·(3−2i)·(4−i)
(3+2i)·(4−i)
225 9+12i
12+9i
15
(2+i)2·3
i·(2−i)2·3
(2+i)·(2−i)·3
226 1+15i
15+i
(1+i)·(8+7i)
(1+i)·(8−7i)
229 2+15i
15+2i
простое
простое
232 6+14i
14+6i
i·(1+i)3·(5+2i)
i·(1+i)3·(5−2i)
233 8+13i
13+8i
простое
простое
234 3+15i
15+3i
(1+i)·3·(3+2i)
(1+i)·3·(3−2i)
241 4+15i
15+4i
простое
простое
242 11+11i (1+i)·11
244 10+12i
12+10i
(1+i)2·(6−5i)
i·(1+i)2·(6+5i)
245 7+14i
14+7i
i·(2−i)·7
(2+i)·7
Норма Число Разложение
250 5+15i
9+13i
13+9i
15+5i
(1+i)·(2+i)2·(2−i)
i·(1+i)·(2−i)3
i·(1+i)·(2+i)3
(1+i)·(2+i)·(2−i)2
256 16 (1+i)8
257 1+16i
16+i
простое
простое
260 2+16i
8+14i
14+8i
16+2i
(1+i)2·(2+i)·(3−2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(3+2i)
(1+i)2·(2−i)·(3−2i)
i·(1+i)2·(2−i)·(3+2i)
261 6+15i
15+6i
i·3·(5−2i)
3·(5+2i)
265 3+16i
11+12i
12+11i
16+3i
i·(2−i)·(7+2i)
i·(2−i)·(7−2i)
(2+i)·(7+2i)
(2+i)·(7−2i)
269 10+13i
13+10i
простое
простое
272 4+16i
16+4i
i·(1+i)4·(4−i)
−(1+i)4·(4+i)
274 7+15i
15+7i
(1+i)·(11+4i)
(1+i)·(11−4i)
277 9+14i
14+9i
простое
простое
281 5+16i
16+5i
простое
простое
288 12+12i −(1+i)5·3
289 8+15i
15+8i
17
i·(4−i)2
(4+i)2
(4+i)·(4−i)
290 1+17i
11+13i
13+11i
17+i
i·(1+i)·(2−i)·(5−2i)
(1+i)·(2+i)·(5−2i)
(1+i)·(2−i)·(5+2i)
i·(1+i)·(2+i)·(5+2i)
292 6+16i
16+6i
(1+i)2·(8−3i)
i·(1+i)2·(8+3i)
293 2+17i
17+2i
простое
простое
296 10+14i
14+10i
i·(1+i)3·(6+i)
i·(1+i)3·(6−i)
298 3+17i
17+3i
(1+i)·(10+7i)
(1+i)·(10−7i)
305 4+17i
7+16i
16+7i
17+4i
i·(2+i)·(6−5i)
(2+i)·(6+5i)
i·(2−i)·(6−5i)
(2−i)·(6+5i)
306 9+15i
15+9i
(1+i)·3·(4+i)
(1+i)·3·(4−i)
313 12+13i
13+12i
простое
простое
314 5+17i
17+5i
(1+i)·(11+6i)
(1+i)·(11−6i)
317 11+14i
14+11i
простое
простое
320 8+16i
16+8i
−(1+i)6·(2−i)
i·(1+i)6·(2+i)
324 18 i·(1+i)2·32
325 1+18i
6+17i
10+15i
15+10i
17+6i
18+i
(2+i)2·(3+2i)
i·(2−i)2·(3+2i)
i·(2+i)·(2−i)·(3−2i)
(2+i)·(2−i)·(3+2i)
(2+i)2·(3−2i)
i·(2−i)2·(3−2i)
328 2+18i
18+2i
i·(1+i)3·(5+4i)
i·(1+i)3·(5−4i)
333 3+18i
18+3i
i·3·(6−i)
3·(6+i)
337 9+16i
16+9i
простое
простое
338 7+17i
13+13i
17+7i
i·(1+i)·(3−2i)2
(1+i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(1+i)·(3+2i)2
340 4+18i
12+14i
14+12i
18+4i
(1+i)2·(2−i)·(4+i)
(1+i)2·(2−i)·(4−i)
i·(1+i)2·(2+i)·(4+i)
i·(1+i)2·(2+i)·(4−i)
346 11+15i
15+11i
(1+i)·(13+2i)
(1+i)·(13−2i)
349 5+18i
18+5i
простое
простое
353 8+17i
17+8i
простое
простое
356 10+16i
16+10i
(1+i)2·(8−5i)
i·(1+i)2·(8+5i)
360 6+18i
18+6i
i·(1+i)3·(2+i)·3
i·(1+i)3·(2−i)·3
361 19 простое
362 1+19i
19+i
(1+i)·(10+9i)
(1+i)·(10−9i)
365 2+19i
13+14i
14+13i
19+2i
i·(2−i)·(8+3i)
(2+i)·(8+3i)
i·(2−i)·(8−3i)
(2+i)·(8−3i)
369 12+15i
15+12i
i·3·(5−4i)
3·(5+4i)
370 3+19i
9+17i
17+9i
19+3i
(1+i)·(2+i)·(6+i)
(1+i)·(2+i)·(6−i)
(1+i)·(2−i)·(6+i)
(1+i)·(2−i)·(6−i)
373 7+18i
18+7i
простое
простое
377 4+19i
11+16i
16+11i
19+4i
i·(3−2i)·(5+2i)
(3+2i)·(5+2i)
i·(3−2i)·(5−2i)
(3+2i)·(5−2i)
386 5+19i
19+5i
(1+i)·(12+7i)
(1+i)·(12−7i)
388 8+18i
18+8i
(1+i)2·(9−4i)
i·(1+i)2·(9+4i)
389 10+17i
17+10i
простое
простое
392 14+14i i·(1+i)3·7
394 13+15i
15+13i
(1+i)·(14+i)
(1+i)·(14−i)
397 6+19i
19+6i
простое
простое
400 12+16i
16+12i
20
−(1+i)4·(2+i)2
i·(1+i)4·(2−i)2
−(1+i)4·(2+i)·(2−i)
401 1+20i
20+i
простое
простое
404 2+20i
20+2i
(1+i)2·(10−i)
i·(1+i)2·(10+i)
405 9+18i
18+9i
i·(2−i)·32
(2+i)·32
409 3+20i
20+3i
простое
простое
410 7+19i
11+17i
17+11i
19+7i
i·(1+i)·(2−i)·(5−4i)
(1+i)·(2−i)·(5+4i)
(1+i)·(2+i)·(5−4i)
i·(1+i)·(2+i)·(5+4i)
416 4+20i
20+4i
−(1+i)5·(3+2i)
−(1+i)5·(3−2i)
421 14+15i
15+14i
простое
простое
424 10+18i
18+10i
i·(1+i)3·(7+2i)
i·(1+i)3·(7−2i)
425 5+20i
8+19i
13+16i
16+13i
19+8i
20+5i
i·(2+i)·(2−i)·(4−i)
(2+i)2·(4+i)
i·(2−i)2·(4+i)
(2+i)2·(4−i)
i·(2−i)2·(4−i)
(2+i)·(2−i)·(4+i)
433 12+17i
17+12i
простое
простое
436 6+20i
20+6i
(1+i)2·(10−3i)
i·(1+i)2·(10+3i)
441 21 3·7
442 1+21i
9+19i
19+9i
21+i
i·(1+i)·(3−2i)·(4−i)
(1+i)·(3+2i)·(4−i)
(1+i)·(3−2i)·(4+i)
i·(1+i)·(3+2i)·(4+i)
445 2+21i
11+18i
18+11i
21+2i
i·(2+i)·(8−5i)
(2+i)·(8+5i)
i·(2−i)·(8−5i)
(2−i)·(8+5i)
449 7+20i
20+7i
простое
простое
450 3+21i
15+15i
21+3i
i·(1+i)·(2−i)2·3
(1+i)·(2+i)·(2−i)·3
i·(1+i)·(2+i)2·3
452 14+16i
16+14i
(1+i)2·(8−7i)
i·(1+i)2·(8+7i)
457 4+21i
21+4i
простое
простое
458 13+17i
17+13i
(1+i)·(15+2i)
(1+i)·(15−2i)
461 10+19i
19+10i
простое
простое
464 8+20i
20+8i
i·(1+i)4·(5−2i)
−(1+i)4·(5+2i)
466 5+21i
21+5i
(1+i)·(13+8i)
(1+i)·(13−8i)
468 12+18i
18+12i
(1+i)2·3·(3−2i)
i·(1+i)2·3·(3+2i)
477 6+21i
21+6i
i·3·(7−2i)
3·(7+2i)
481 9+20i
15+16i
16+15i
20+9i
i·(3−2i)·(6+i)
i·(3−2i)·(6−i)
(3+2i)·(6+i)
(3+2i)·(6−i)
482 11+19i
19+11i
(1+i)·(15+4i)
(1+i)·(15−4i)
484 22 i·(1+i)2·11
485 1+22i
14+17i
17+14i
22+i
i·(2−i)·(9+4i)
(2+i)·(9+4i)
i·(2−i)·(9−4i)
(2+i)·(9−4i)
488 2+22i
22+2i
i·(1+i)3·(6+5i)
i·(1+i)3·(6−5i)
490 7+21i
21+7i
(1+i)·(2+i)·7
(1+i)·(2−i)·7
493 3+22i
13+18i
18+13i
22+3i
i·(4+i)·(5−2i)
i·(4−i)·(5−2i)
(4+i)·(5+2i)
(4−i)·(5+2i)
Норма Число Разложение
500 4+22i
10+20i
20+10i
22+4i
i·(1+i)2·(2+i)3
(1+i)2·(2+i)·(2−i)2
i·(1+i)2·(2+i)2·(2−i)
(1+i)2·(2−i)3
505 8+21i
12+19i
19+12i
21+8i
i·(2−i)·(10+i)
i·(2−i)·(10−i)
(2+i)·(10+i)
(2+i)·(10−i)
509 5+22i
22+5i
простое
простое
512 16+16i (1+i)9
514 15+17i
17+15i
(1+i)·(16+i)
(1+i)·(16−i)
520 6+22i
14+18i
18+14i
22+6i
(1+i)3·(2−i)·(3−2i)
i·(1+i)3·(2−i)·(3+2i)
i·(1+i)3·(2+i)·(3−2i)
−(1+i)3·(2+i)·(3+2i)
521 11+20i
20+11i
простое
простое
522 9+21i
21+9i
(1+i)·3·(5+2i)
(1+i)·3·(5−2i)
529 23 простое
530 1+23i
13+19i
19+13i
23+i
(1+i)·(2+i)·(7+2i)
(1+i)·(2+i)·(7−2i)
(1+i)·(2−i)·(7+2i)
(1+i)·(2−i)·(7−2i)
533 2+23i
7+22i
22+7i
23+2i
i·(3+2i)·(5−4i)
(3+2i)·(5+4i)
i·(3−2i)·(5−4i)
(3−2i)·(5+4i)
538 3+23i
23+3i
(1+i)·(13+10i)
(1+i)·(13−10i)
541 10+21i
21+10i
простое
простое
544 12+20i
20+12i
−(1+i)5·(4+i)
−(1+i)5·(4−i)
545 4+23i
16+17i
17+16i
23+4i
i·(2−i)·(10+3i)
i·(2−i)·(10−3i)
(2+i)·(10+3i)
(2+i)·(10−3i)
548 8+22i
22+8i
(1+i)2·(11−4i)
i·(1+i)2·(11+4i)
549 15+18i
18+15i
i·3·(6−5i)
3·(6+5i)
554 5+23i
23+5i
(1+i)·(14+9i)
(1+i)·(14−9i)
557 14+19i
19+14i
простое
простое
562 11+21i
21+11i
(1+i)·(16+5i)
(1+i)·(16−5i)
565 6+23i
9+22i
22+9i
23+6i
i·(2+i)·(8−7i)
(2+i)·(8+7i)
i·(2−i)·(8−7i)
(2−i)·(8+7i)
569 13+20i
20+13i
простое
простое
576 24 i·(1+i)6·3
577 1+24i
24+i
простое
простое
578 7+23i
17+17i
23+7i
(1+i)·(4+i)2
(1+i)·(4+i)·(4−i)
(1+i)·(4−i)2
580 2+24i
16+18i
18+16i
24+2i
(1+i)2·(2−i)·(5+2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5+2i)
(1+i)2·(2−i)·(5−2i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5−2i)
584 10+22i
22+10i
i·(1+i)3·(8+3i)
i·(1+i)3·(8−3i)
585 3+24i
12+21i
21+12i
24+3i
i·(2+i)·3·(3−2i)
(2+i)·3·(3+2i)
i·(2−i)·3·(3−2i)
(2−i)·3·(3+2i)
586 15+19i
19+15i
(1+i)·(17+2i)
(1+i)·(17−2i)
592 4+24i
24+4i
i·(1+i)4·(6−i)
−(1+i)4·(6+i)
593 8+23i
23+8i
простое
простое
596 14+20i
20+14i
(1+i)2·(10−7i)
i·(1+i)2·(10+7i)
601 5+24i
24+5i
простое
простое
605 11+22i
22+11i
i·(2−i)·11
(2+i)·11
610 9+23i
13+21i
21+13i
23+9i
i·(1+i)·(2−i)·(6−5i)
(1+i)·(2−i)·(6+5i)
(1+i)·(2+i)·(6−5i)
i·(1+i)·(2+i)·(6+5i)
612 6+24i
24+6i
(1+i)2·3·(4−i)
i·(1+i)2·3·(4+i)
613 17+18i
18+17i
простое
простое
617 16+19i
19+16i
простое
простое
625 7+24i
15+20i
20+15i
24+7i
25
−(2−i)4
(2+i)3·(2−i)
i·(2+i)·(2−i)3
i·(2+i)4
(2+i)2·(2−i)2
626 1+25i
25+i
(1+i)·(13+12i)
(1+i)·(13−12i)
628 12+22i
22+12i
(1+i)2·(11−6i)
i·(1+i)2·(11+6i)
629 2+25i
10+23i
23+10i
25+2i
i·(4−i)·(6+i)
i·(4−i)·(6−i)
(4+i)·(6+i)
(4+i)·(6−i)
634 3+25i
25+3i
(1+i)·(14+11i)
(1+i)·(14−11i)
637 14+21i
21+14i
i·(3−2i)·7
(3+2i)·7
640 8+24i
24+8i
i·(1+i)7·(2+i)
i·(1+i)7·(2−i)
641 4+25i
25+4i
простое
простое
648 18+18i i·(1+i)3·32
650 5+25i
11+23i
17+19i
19+17i
23+11i
25+5i
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(3+2i)
(1+i)·(2+i)2·(3−2i)
i·(1+i)·(2−i)2·(3−2i)
i·(1+i)·(2+i)2·(3+2i)
(1+i)·(2−i)2·(3+2i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(3−2i)
653 13+22i
22+13i
простое
простое
656 16+20i
20+16i
i·(1+i)4·(5−4i)
−(1+i)4·(5+4i)
657 9+24i
24+9i
i·3·(8−3i)
3·(8+3i)
661 6+25i
25+6i
простое
простое
666 15+21i
21+15i
(1+i)·3·(6+i)
(1+i)·3·(6−i)
673 12+23i
23+12i
простое
простое
674 7+25i
25+7i
(1+i)·(16+9i)
(1+i)·(16−9i)
676 10+24i
24+10i
26
i·(1+i)2·(3+2i)2
(1+i)2·(3−2i)2
i·(1+i)2·(3+2i)·(3−2i)
677 1+26i
26+i
простое
простое
680 2+26i
14+22i
22+14i
26+2i
i·(1+i)3·(2+i)·(4+i)
i·(1+i)3·(2+i)·(4−i)
i·(1+i)3·(2−i)·(4+i)
i·(1+i)3·(2−i)·(4−i)
685 3+26i
18+19i
19+18i
26+3i
i·(2−i)·(11+4i)
(2+i)·(11+4i)
i·(2−i)·(11−4i)
(2+i)·(11−4i)
689 8+25i
17+20i
20+17i
25+8i
i·(3−2i)·(7+2i)
(3+2i)·(7+2i)
i·(3−2i)·(7−2i)
(3+2i)·(7−2i)
692 4+26i
26+4i
(1+i)2·(13−2i)
i·(1+i)2·(13+2i)
697 11+24i
16+21i
21+16i
24+11i
i·(4+i)·(5−4i)
(4+i)·(5+4i)
i·(4−i)·(5−4i)
(4−i)·(5+4i)
698 13+23i
23+13i
(1+i)·(18+5i)
(1+i)·(18−5i)
701 5+26i
26+5i
простое
простое
706 9+25i
25+9i
(1+i)·(17+8i)
(1+i)·(17−8i)
709 15+22i
22+15i
простое
простое
712 6+26i
26+6i
i·(1+i)3·(8+5i)
i·(1+i)3·(8−5i)
720 12+24i
24+12i
i·(1+i)4·(2−i)·3
−(1+i)4·(2+i)·3
722 19+19i (1+i)·19
724 18+20i
20+18i
(1+i)2·(10−9i)
i·(1+i)2·(10+9i)
725 7+26i
10+25i
14+23i
23+14i
25+10i
26+7i
(2+i)2·(5+2i)
i·(2+i)·(2−i)·(5−2i)
i·(2−i)2·(5+2i)
(2+i)2·(5−2i)
(2+i)·(2−i)·(5+2i)
i·(2−i)2·(5−2i)
729 27 33
730 1+27i
17+21i
21+17i
27+i
i·(1+i)·(2−i)·(8−3i)
(1+i)·(2+i)·(8−3i)
(1+i)·(2−i)·(8+3i)
i·(1+i)·(2+i)·(8+3i)
733 2+27i
27+2i
простое
простое
738 3+27i
27+3i
(1+i)·3·(5+4i)
(1+i)·3·(5−4i)
740 8+26i
16+22i
22+16i
26+8i
(1+i)2·(2−i)·(6+i)
(1+i)2·(2−i)·(6−i)
i·(1+i)2·(2+i)·(6+i)
i·(1+i)2·(2+i)·(6−i)
745 4+27i
13+24i
24+13i
27+4i
i·(2+i)·(10−7i)
(2+i)·(10+7i)
i·(2−i)·(10−7i)
(2−i)·(10+7i)
746 11+25i
25+11i
(1+i)·(18+7i)
(1+i)·(18−7i)
Норма Число Разложение
754 5+27i
15+23i
23+15i
27+5i
i·(1+i)·(3−2i)·(5−2i)
(1+i)·(3+2i)·(5−2i)
(1+i)·(3−2i)·(5+2i)
i·(1+i)·(3+2i)·(5+2i)
757 9+26i
26+9i
простое
простое
761 19+20i
20+19i
простое
простое
765 6+27i
18+21i
21+18i
27+6i
i·(2−i)·3·(4+i)
i·(2−i)·3·(4−i)
(2+i)·3·(4+i)
(2+i)·3·(4−i)
769 12+25i
25+12i
простое
простое
772 14+24i
24+14i
(1+i)2·(12−7i)
i·(1+i)2·(12+7i)
773 17+22i
22+17i
простое
простое
776 10+26i
26+10i
i·(1+i)3·(9+4i)
i·(1+i)3·(9−4i)
778 7+27i
27+7i
(1+i)·(17+10i)
(1+i)·(17−10i)
784 28 −(1+i)4·7
785 1+28i
16+23i
23+16i
28+i
i·(2+i)·(11−6i)
(2+i)·(11+6i)
i·(2−i)·(11−6i)
(2−i)·(11+6i)
788 2+28i
28+2i
(1+i)2·(14−i)
i·(1+i)2·(14+i)
793 3+28i
8+27i
27+8i
28+3i
i·(3+2i)·(6−5i)
(3+2i)·(6+5i)
i·(3−2i)·(6−5i)
(3−2i)·(6+5i)
794 13+25i
25+13i
(1+i)·(19+6i)
(1+i)·(19−6i)
797 11+26i
26+11i
простое
простое
800 4+28i
20+20i
28+4i
i·(1+i)5·(2−i)2
−(1+i)5·(2+i)·(2−i)
i·(1+i)5·(2+i)2
801 15+24i
24+15i
i·3·(8−5i)
3·(8+5i)
802 19+21i
21+19i
(1+i)·(20+i)
(1+i)·(20−i)
808 18+22i
22+18i
i·(1+i)3·(10+i)
i·(1+i)3·(10−i)
809 5+28i
28+5i
простое
простое
810 9+27i
27+9i
(1+i)·(2+i)·32
(1+i)·(2−i)·32
818 17+23i
23+17i
(1+i)·(20+3i)
(1+i)·(20−3i)
820 6+28i
12+26i
26+12i
28+6i
(1+i)2·(2+i)·(5−4i)
i·(1+i)2·(2+i)·(5+4i)
(1+i)2·(2−i)·(5−4i)
i·(1+i)2·(2−i)·(5+4i)
821 14+25i
25+14i
простое
простое
829 10+27i
27+10i
простое
простое
832 16+24i
24+16i
−(1+i)6·(3−2i)
i·(1+i)6·(3+2i)
833 7+28i
28+7i
i·(4−i)·7
(4+i)·7
841 20+21i
21+20i
29
i·(5−2i)2
(5+2i)2
(5+2i)·(5−2i)
842 1+29i
29+i
(1+i)·(15+14i)
(1+i)·(15−14i)
845 2+29i
13+26i
19+22i
22+19i
26+13i
29+2i
−(2−i)·(3−2i)2
i·(2−i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(2+i)·(3−2i)2
(2−i)·(3+2i)2
(2+i)·(3+2i)·(3−2i)
i·(2+i)·(3+2i)2
848 8+28i
28+8i
i·(1+i)4·(7−2i)
−(1+i)4·(7+2i)
850 3+29i
11+27i
15+25i
25+15i
27+11i
29+3i
(1+i)·(2+i)2·(4−i)
i·(1+i)·(2−i)2·(4−i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(4+i)
(1+i)·(2+i)·(2−i)·(4−i)
i·(1+i)·(2+i)2·(4+i)
(1+i)·(2−i)2·(4+i)
853 18+23i
23+18i
простое
простое
857 4+29i
29+4i
простое
простое
865 9+28i
17+24i
24+17i
28+9i
i·(2−i)·(13+2i)
i·(2−i)·(13−2i)
(2+i)·(13+2i)
(2+i)·(13−2i)
866 5+29i
29+5i
(1+i)·(17+12i)
(1+i)·(17−12i)
872 14+26i
26+14i
i·(1+i)3·(10+3i)
i·(1+i)3·(10−3i)
873 12+27i
27+12i
i·3·(9−4i)
3·(9+4i)
877 6+29i
29+6i
простое
простое
881 16+25i
25+16i
простое
простое
882 21+21i (1+i)·3·7
884 10+28i
20+22i
22+20i
28+10i
(1+i)2·(3−2i)·(4+i)
i·(1+i)2·(3+2i)·(4+i)
(1+i)2·(3−2i)·(4−i)
i·(1+i)2·(3+2i)·(4−i)
890 7+29i
19+23i
23+19i
29+7i
i·(1+i)·(2−i)·(8−5i)
(1+i)·(2−i)·(8+5i)
(1+i)·(2+i)·(8−5i)
i·(1+i)·(2+i)·(8+5i)
898 13+27i
27+13i
(1+i)·(20+7i)
(1+i)·(20−7i)
900 18+24i
24+18i
30
i·(1+i)2·(2+i)2·3
(1+i)2·(2−i)2·3
i·(1+i)2·(2+i)·(2−i)·3
901 1+30i
15+26i
26+15i
30+i
i·(4+i)·(7−2i)
i·(4−i)·(7−2i)
(4+i)·(7+2i)
(4−i)·(7+2i)
904 2+30i
30+2i
i·(1+i)3·(8+7i)
i·(1+i)3·(8−7i)
905 8+29i
11+28i
28+11i
29+8i
i·(2+i)·(10−9i)
(2+i)·(10+9i)
i·(2−i)·(10−9i)
(2−i)·(10+9i)
909 3+30i
30+3i
i·3·(10−i)
3·(10+i)
914 17+25i
25+17i
(1+i)·(21+4i)
(1+i)·(21−4i)
916 4+30i
30+4i
(1+i)2·(15−2i)
i·(1+i)2·(15+2i)
922 9+29i
29+9i
(1+i)·(19+10i)
(1+i)·(19−10i)
925 5+30i
14+27i
21+22i
22+21i
27+14i
30+5i
i·(2+i)·(2−i)·(6−i)
(2+i)2·(6+i)
i·(2−i)2·(6+i)
(2+i)2·(6−i)
i·(2−i)2·(6−i)
(2+i)·(2−i)·(6+i)
928 12+28i
28+12i
−(1+i)5·(5+2i)
−(1+i)5·(5−2i)
929 20+23i
23+20i
простое
простое
932 16+26i
26+16i
(1+i)2·(13−8i)
i·(1+i)2·(13+8i)
936 6+30i
30+6i
i·(1+i)3·3·(3+2i)
i·(1+i)3·3·(3−2i)
937 19+24i
24+19i
простое
простое
941 10+29i
29+10i
простое
простое
949 7+30i
18+25i
25+18i
30+7i
i·(3−2i)·(8+3i)
(3+2i)·(8+3i)
i·(3−2i)·(8−3i)
(3+2i)·(8−3i)
953 13+28i
28+13i
простое
простое
954 15+27i
27+15i
(1+i)·3·(7+2i)
(1+i)·3·(7−2i)
961 31 простое
962 1+31i
11+29i
29+11i
31+i
(1+i)·(3+2i)·(6+i)
(1+i)·(3+2i)·(6−i)
(1+i)·(3−2i)·(6+i)
(1+i)·(3−2i)·(6−i)
964 8+30i
30+8i
(1+i)2·(15−4i)
i·(1+i)2·(15+4i)
965 2+31i
17+26i
26+17i
31+2i
i·(2+i)·(12−7i)
(2+i)·(12+7i)
i·(2−i)·(12−7i)
(2−i)·(12+7i)
968 22+22i i·(1+i)3·11
970 3+31i
21+23i
23+21i
31+3i
i·(1+i)·(2−i)·(9−4i)
(1+i)·(2+i)·(9−4i)
(1+i)·(2−i)·(9+4i)
i·(1+i)·(2+i)·(9+4i)
976 20+24i
24+20i
i·(1+i)4·(6−5i)
−(1+i)4·(6+5i)
977 4+31i
31+4i
простое
простое
980 14+28i
28+14i
(1+i)2·(2−i)·7
i·(1+i)2·(2+i)·7
981 9+30i
30+9i
i·3·(10−3i)
3·(10+3i)
985 12+29i
16+27i
27+16i
29+12i
i·(2−i)·(14+i)
i·(2−i)·(14−i)
(2+i)·(14+i)
(2+i)·(14−i)
986 5+31i
19+25i
25+19i
31+5i
(1+i)·(4+i)·(5+2i)
(1+i)·(4−i)·(5+2i)
(1+i)·(4+i)·(5−2i)
(1+i)·(4−i)·(5−2i)
997 6+31i
31+6i
простое
простое
1000 10+30i
18+26i
26+18i
30+10i
i·(1+i)3·(2+i)2·(2−i)
(1+i)3·(2−i)3
−(1+i)3·(2+i)3
i·(1+i)3·(2+i)·(2−i)2

См. также

править

Примечания

править
  1. Окунев, 1941, с. 29.
  2. Окунев, 1941, с. 33—34.
  3. Conrad, Keith, Глава 6.

Литература

править
  • Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
  • Dresden, Greg; Dymacek, Wayne. Finding factors of factor rings over the Gaussian integers (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2005. — Vol. 112, no. 7. — P. 602–611. — doi:10.2307/30037545. — JSTOR 30037545.
  • Gethner, Ellen; Wagner, Stan; Wick, Brian. A stroll through the Gaussian primes (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1998. — Vol. 105, no. 4. — P. 327—337. — doi:10.2307/2589708. — JSTOR 2589708.

Ссылки

править