Фундаментальная матрица

Фундамента́льная ма́трица системы линейных однородных дифференциальных уравнений — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений этой системы .

Фундаментальная матрица, нормированная в точке $t_{0}$, выделяется из множества всех фундаментальных матриц $\ F(t)$ данной системы условием $F(t_{0})=E$, где $E$ — единичная матрица, и называется матрицант.

Определитель фундаментальной матрицы $F(t)$ называется её вронскианом и обозначается $W_{F}(t)$. Важное свойство вронскиана фундаментальной матрицы состоит в том, что он не обращается в нуль ни в одной точке.

Критерий фундаментальности

Наряду с линейной однородной системой дифференциальных уравнений

${\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)$

рассмотрим соответствующее матричное уравнение

${\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)$,

в котором $X=X(t)$ — неизвестная квадратная матрица.

Теорема. Заданная матрица-функция $X=F(t)$ является фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений (1), если и только если, она является решением матричного уравнения (2) и имеет в некоторой (произвольной) точке ненулевой определитель.

Доказательство. Заметим, что матрица-функция $X=F(t)$ будет решением матричного уравнения (2) в том и только том случае, когда любой её столбец $\varphi _{k}$ является решением линейной однородной системы (1). Действительно, равенство столбцов с номером $k$ в левой и правой части матричного уравнения (2) имеет вид $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$, что совпадает с линейной однородной системой (1). Теперь сформулированный критерий вытекает из определений и упомянутого выше свойства вронскиана, поскольку линейная независимость столбцов матрицы эквивалентна отличию определителя этой матрицы от нуля.

Литература

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.