Функция Жуковского

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамике. Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.

Пример действия функции Жуковского — окружность (вверху) отображается на профиль Жуковского — Чаплыгина (внизу)

Определение

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$ по формуле

$f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).$

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-линейной и квадратичной функции:

$f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),$

где

$S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}},\;S_{2}(z)=z^{2}.$

Свойства

• $f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)$.
• Обратной к функции Жуковского является функция $g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1}}$.
• $f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ отлична от нуля при $z\neq \pm 1$. Следовательно, отображение $f(z)$ является конформным везде, за исключением этих точек.
• Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения:

• круг $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку $(-1,1)$ действительной оси.
• круг $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ с разрезами по отрезкам $(b,1)$ и $(-1,-a)$, где $0<a,b<1$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку $\left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{\frac {1}{b}}\right)\right)$.
• верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам $(-\infty ,-1)$ и $(1,+\infty )$ на действительной оси.
• полукруг $\left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace$ на нижнюю полуплоскость.
• окружность, проходящая через точку $1$ и содержащая точку $-1$, на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла.

Преобразование Кармана — Треффца

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную $z$ с преобразованной $\zeta$ равенством

${\frac {\zeta -k}{\zeta +k}}={\frac {(z-1)^{k}}{(z+1)^{k}}},$

где $k<2$. При $k=2$ получается $\zeta =2f(z)$.

Литература

• Евграфов, М. А. Аналитические функции. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-014200-X.
• Маркушевич, А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.
• Milne-Thomson, L. M.. Theoretical aerodynamics (англ.). — 4th ed. — New York: Dover Publications, 1973. — ISBN 0-486-61980-X.