Функция Хевисайда

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1.

$\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$

Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:

$\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].$

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, $\theta '=\delta$, это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл ):

$\theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!\delta (t)\,dt.$

Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента $n$:

$\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}$

где $n$ — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

$\delta [n]=\theta [n]-\theta [n-1].$

Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

$\theta (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {th} \,kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$

где большему $k$ соответствует более крутой подъём функции в точке $x=0$. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда $\Delta {x}$, значение $k$ можно оценить как $k\approx {\frac {10}{\Delta {x}}}$.

Если принять $\theta (0)=1/2$, уравнение можно записать в предельной форме:

$\theta (x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {th} \,kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

$\theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \,kx\right);$

$\theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} \,kx\right).$

Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

$\theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }\,d\tau .$

Значение в нуле

Значение функции в нуле часто задаётся как $\theta (0)=0$, $\theta (0)=1/2$ или $\theta (0)=1$. $\theta (0)=1/2$ — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

$\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2}},&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}$

что с учетом определения функции знака можно выразить как

$\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{2x}}$

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

$\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}$

Преобразование Фурье

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

$\theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt$.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции $\theta (t)$, получим её изображение вида:

${\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),$

то есть:

$\theta (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega )\right)e^{i\omega t}\,d\omega$

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

Другие свойства

Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что $f(x)\delta (x)=f(0)\delta (x)$, то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной $f(x)$.

$\left[f(x)\theta (x)\right]^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}f^{(k)}(0)\delta ^{(n-k-1)}(x)+f^{(n)}(x)\theta (x)$

Доказательство

По индукции, пусть для $n$ выполнено:

$\left[f(x)\theta (x)\right]^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}f^{(k)}(0)\delta ^{(n-k-1)}(x)+f^{(n)}(x)\theta (x),$

Так, для единицы:

$\left[f(x)\theta (x)\right]'=f(0)\delta (x)+f'(x)\theta (x);$

Шаг индукции:

$\left[f(x)\theta (x)\right]^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n-1}f^{(k)}(0)\delta ^{(n-k)}(x)+\left[f^{(n)}(x)\theta (x)\right]',$

Поскольку выражения $f^{(i)}(0)$ — константы, дифференцируется лишь дельта-функция. Последнее слагаемое запишется, как

$\left[f^{(n)}(x)\theta (x)\right]'=f^{(n+1)}(x)\theta (x)+f^{(n)}(0)\delta (x),$

Группируя полученные слагаемые в общую сумму:

$\left[f(x)\theta (x)\right]^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(0)\delta ^{(n-k)}(x)+f^{(n+1)}(x)\theta (x).$

Таким образом, согласно принципу индукции, утверждение доказано для любого $n$.

История

Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Гульельмо Либри в 1830-х годах опубликовал несколько работ, посвящённых функции $0^{0^{x}}$. По его мнению, $0^{x}$ равен $0$, если $x>0$; $1$, если $x=0$ (см. Ноль в нулевой степени); или $\infty$, если $x<0$. Таким образом Либри заключает, что $0^{0^{x}}$ равняется 1, если $x>0$, и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как

$0^{0^{x}}=[\,x>0\,].$

Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения $|x|$ тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как $a\leq x\leq b$, и даже «$x$ является делителем $y$».

См. также

• Прямоугольная функция
• Дельта-функция
• Переходная функция
• Интеграл Дюамеля