AK-моде́ль (модель Ребело, англ. AK model) — эндогенная модель экономического ростa, в которой устойчивый экономический рост достигается за счет неубывающей предельной производительности капитала, понимаемого в модели как совокупность физического и человеческого капитала, в производстве инвестиционных товаров. AK-модель преодолела недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям, и показала возможность негативного воздействия фискальной политики на долгосрочные темпы экономического роста. Однако сильная чувствительность темпов экономического роста к изменениям налоговой ставки, предполагаемая по модели, не подтверждается эмпирически. Также в модели не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Разработана в 1990 году Серджио Ребело[англ.].

История создания

править

В ранних неоклассических моделях экономического роста (модели Солоу и Рамсея — Касса — Купманса) темпы научно-технический прогресса, являющего источником экономического роста, задавались экзогенно, а капитал как фактор производства характеризовался убывающей отдачей от масштаба. Чтобы объяснить темпы экономического роста, исследователи стали использовать более широкую трактовку понятия «капитал», включая в него и человеческий капитал. Эта концепция была впервые предложена Фрэнком Найтом в 1944 году[1]. На основании такой широкой трактовки капитала традиционно используемую в макроэкономических моделях функцию Кобба — Дугласа сменила производственная функция вида  , которая впервые была предложена в 1937 году Джоном фон Нейманом (на английский язык работа была переведена в 1945 году)[2][3]. Простейший вариант AK-модели (с экзогенной ставкой сбережения) был предложен Робертом Солоу в 1970 году, однако сам Солоу посчитал её неинтересной[4][5]. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, используется межвременная функция полезности из работы Фрэнка Рамсея 1928 года[6]. После Роберта Солоу многие исследователи предлагали свои версии АК-модели, иногда под этим названием подразумеваются некоторые схожие модели (см. ниже), но в качестве модели, объединяющей человеческий и физический капитал в производственную функцию вида  , с помощью которой объясняются темпы экономического роста, в обзорных источниках используется модель, предложенная Серджио Ребело[англ.][7][8][5] в работе «Анализ зависимости долгосрочной фискальной политики и темпов экономического роста», опубликованной в апреле 1990 года[9] и изданной в июне 1991 года в журнале Journal of Political Economy[англ.][10].

Описание оригинальной модели

править

Базовые предпосылки модели

править

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится два разных типа продуктов: один используется, для потребления  , другой - для инвестиций  . Норма выбытия капитала   задается экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время   изменяется непрерывно[9].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям:  [9].

Капитал  , трактуемый в модели как совокупность физического и человеческого капитала, распределяется между двумя секторами, производящими инвестиционные и потребительские товары[9][11]:

 ,
где   — совокупный запас капитала в момент времени  ,   — капитал, используемый в производстве потребительских товаров в момент времени  ,   — капитал, используемый в производстве инвестиционных товаров в момент времени  .

Если обозначить долю капитала, задействованного в производстве потребительских товаров в момент времени   как  ,  , то   и  .

Производственная функция в секторе потребительских товаров описывается функцией Кобба — Дугласа[9][12]:

 ,
где   — совокупное потребление в момент времени  ,   — потребление отдельного индивида в момент времени  ,  трудовые ресурсы в момент времени  ,   — технологический параметр,  .

Производственная функция в секторе инвестиционных товаров не включает в себя труд как фактор производства, зависит только от капитала и описывается функцией[9][11]:

 ,
где   — технологический параметр,  .

Население  , равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом  :  .

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает заработную плату (в единицах потребительского товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя   является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям   и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю):  , а также обладает постоянной эластичностью замещения  , и имеет вид[9]:

 ,
где   — коэффициент межвременного предпочтения потребителя,  .

Доходы индивида состоят из заработной платы   и поступлений от активов  . Активы индивида   могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка   по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[13][14]:

 ,
где   — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида   совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Накопление капитала в момент времени   равно разности произведенных инвестиционных товаров и выбытия капитала[9][11]:

 ,
где   — норма выбытия капитала,   — производная капитала по времени.

Для поиска решения модели используются удельные показатели[9]: выпуск на единицу труда  , запас капитала на единицу труда  , потребление на единицу труда  , инвестиции на единицу труда  .

В интенсивной форме производственные функции имеют вид:   (сектор инвестиционных товаров) и   (сектор потребительских товаров).

Задача фирмы

править

Задача фирм, работающие в двух секторах, состоит в максимизации прибыли (  и   в потребительском и инвестиционном секторе соответственно)[9][15]:

 
 

В условиях совершенной конкуренции это означает, что предельная производительность капитала в производстве инвестиционных и потребительских товаров должна быть одинакова ( ), при условии статичности цен[9][15]:

 ,
 ,
где   — цена инвестиционного товара в момент времени  ,   — цена потребительского товара в момент времени  . Из условия, что  , следует[9][15]:
 .

Задача потребителя

править

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом  , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на  . Таким образом, учитывая, что в этой версии модели   производная активов по времени  , выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид[13]:

 .

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, задача потребителя заключается в максимизации полезности   при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина[16].


Искомое решение имеет вид правила Кейнса — Рамсея[13][9]:

 ,
где   — производная потребления на душу населения по времени,   — темп роста потребления на единицу населения.

Общее равновесие в модели

править

С учетом изменения цен потребительского и инвестиционного товаров, в равновесном состоянии доходности на капитал в производстве инвестиционных ( ) и потребительских ( ) товаров должны удовлетворять условию[15][9]:

 ,
где   — производная цены инвестиционного товара по времени,   — производная цены потребительского товара по времени.

На траектории стабильного роста  . Если выбрать потребительский товар в качестве меры стоимости,  , то  . Динамика цены инвестиционного товара определяется из равенства доходностей на капитал в секторах потребительских и инвестиционных товаров[20]:

 .

С учетом уравнения доходности капитала в производственном секторе, итоговое уравнение для   примет вид[20]:

 .

Если подставить значение   в уравнение динамики потребления, то оно примет вид[20]:

 .

Производная производственной функции в секторе потребительских товаров по времени выглядит следующим образом[20]:

 .

Решением системы из этих двух уравнений и будут равновесные темпы роста капиталовооружённости   ( ), выпуска на единицу труда   ( ), заработной платы   ( ) и потребления на единицу труда   ( )[21][9]:

 ,
 ,
 

Таким образом, в модели темпы роста выпуска и потребления являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста, в отличие от моделей обучения в процессе деятельности и Удзавы — Лукаса[22].

Фискальная политика в модели

править

Совокупные налоговые поступления можно записать следующим образом[9]:

 ,
где   — совокупные налоговые поступления в момент времени  ,   — суммарная ставка налогов на потребление (например, НДФЛ, НДС),   — суммарная ставка налогов на инвестиции (например, налог на прибыль).

Налоги на потребление не влияют на темпы роста капиталовооружённости   и выпуска  , они лишь приводят к уменьшению текущего уровня потребления. Но налоги на инвестиции оказывают влияние на темпы роста В этом случае оптимальные темпы роста капиталовооружённости   и выпуска   изменится следующим образом[9]:

 ,
 .

Таким образом, в отличие от модели Рамсея — Касса — Купманса, в которой рост налогов вызывал только снижение текущего потребления, но не влиял на темпы экономического роста, в рассматриваемой модели даже небольшие изменения в налоговой политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными)[23].

Упрощенная версия модели

править

Отличия от оригинальной модели

править

Во многих работах встречается упрощенная версия модели, в которой рассматривается односекторная экономика вместо двухсекторной в оригинальной модели: производится только один товар  , используемый как для потребления, так и для инвестиций[7][8][24]. В этом случае в качестве совокупной производственной функции выступает производственная функция сектора инвестиционных товаров из оригинальной модели[25][26]:

 

Поскольку производится только один товар, то больше нет необходимости в разных ценах   и  , и в этой версии, как и в модели модели Рамсея — Касса — Купманса, работники снова получают заработную плату в натуральной величине[25][26].

Задача фирмы

править

Задача фирмы состоит в максимизации прибыли  [27]:

 

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам[27][14]:

 ,
 .

Задача потребителя

править

Задача потребителя полностью аналогична задаче в оригинальной модели. Её решение имеет также вид правила Кейнса — Рамсея[14][13]:

 ,

Общее экономическое равновесие

править

В равновесном состоянии темпы роста потребления  , капитала   и выпуска   равны[16][28]:

 .

Учитывая, что  , после решения задач фирмы и потребителя, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений[16][14]:

 
при условии:
 .

Из решения этой системы уравнений находится равновесная норма сбережения  [29][30]:

 .

В итоге, и в упрощенной модели темпы роста выпуска и потребления также являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие также является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста[22].

Фискальная политика в модели

править

Поскольку в упрощенной версии модели индивиды получают доход только от владения капиталом ( ), то и налоги могут быть в ней введены только на этот источник дохода. С учетом налогов, динамика активов потребителя примет вид[22]:

 ,
где   — ставка налога.

В этом случае равновесные темпы роста потребления  , капитала   и выпуска   в зависимости от ставки налога   будут равны[22][31]:

 .

Норма сбережений   также меняется в зависимости от [22][31]:

 .

Как и в оригинальной модели, в упрощенной версии небольшие изменения в налоговой политике тоже могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными). В целом, при более простых вычисления, упрощенная версия модели приходит к тем же общим выводам, что и оригинальная модель, за исключением вывода относительно уровня заработной платы   и темпов его роста  . Но это важное различие, оно предполагает, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%[23].

Другие модели с расширенной трактовкой капитала

править

В модели Серджио Ребело[англ.] человеческий и физический капитал объединены в одну переменную. Существуют также ряд других моделей, которые приходят к аналогичным выводам, но исходя из иных предпосылок. Вместе с рассматриваемой моделью из называют моделями экономического роста с расширенной трактовкой капитала или моделями эндогенного роста первого поколения[32].

Модель обучения в процессе деятельности

править

В модели обучения в процессе деятельности производственная функция каждой отдельной фирмы удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас капитала посредством эффекта перелива знаний повышает производительность труда в экономике. Модель также демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от совокупного запаса капитала, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Полом Ромером в 1986 году[33].

Модель Удзавы — Лукаса

править

В модели Удзавы — Лукаса производственная функция каждой отдельной фирмы также удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас человеческого капитала (в форме среднего уровня образования) повышает производительность труда в экономике. Модель демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от среднего уровня образования, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Робертом Лукасом на основе идей Хирофуми Удзавы в 1988 году[34].

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

править

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла является расширенной за счёт включения человеческого капитала версией модели Солоу, она разработана Грегори Мэнкью, Дэвидом Ромером и Дэвидом Вейлом[фр.] в 1990 году[35]. В том случае, если в модели Мэнкью — Ромера — Вейла вместо экзогенной ставки сбережений вводится функция полезности потребителя, и если выполняется условие  , то она превращается в полный аналог упрощенный версии AK-модели[36].

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

править

AK-модель преодолевает недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) благодаря тому, что понятие «капитал» в модели трактуется как совокупность физического и человеческого капитала, что позволяет обосновать неубывающую предельную производительность капитала в секторе инвестиционных товаров, обеспечивающую постоянные темпы экономического роста[37].

Темпы экономического роста в модели зависят от поведения потребителей, которые выбирают субъективную ставку дисконтирования и институциональных параметров, определяющих налоговую нагрузку. В модели показано негативное влияние повышения налогов на темпы экономического роста. Даже небольшие изменения в фискальной политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста, которые при определенных значениях параметров даже могут стать отрицательными[38]. Однако столь сильная чувствительность к изменениям налоговой ставки рядом экономистов считается недостатком модели: в развитых странах существенно различается налоговая нагрузка, но это не приводит к сопоставимым различиям в темпах роста ВВП[23].

AK-модели также иногда приписывается вывод о том, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%. Но это верно только для упрощённой версии модели, в оригинальной версии этот недостаток преодолевается[23].

Модель не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые[39]. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатые[40], хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в AK-модели существующие между странами разрывы со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и все больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждается[41].

Некоторые исследователи в качестве достоинства модели также отмечают её простоту и отсутствие переходной динамики[42]. Но следствием её простоты является то, что в понятие «капитал» включается много различных типов деятельности: физический капитал, человеческий капитал, обучение, создание новых продуктов. Из-за того, что столь различные понятия объединены в одну переменную  , модель носит достаточно ограниченный характер[43].

Вместе с тем, отмечается, что в модели отсутствует технологический прогресс в явном виде и не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли[42]. Альтернативный путь развития — импорт и внедрение новых технологий из более развитых стран — также не отражён в модели[42].

Примечания

править
  1. Knight, 1944.
  2. Neumann, 1945.
  3. Palgrave (Howitt), 2018, с. 3633.
  4. Solow R., 1970.
  5. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 620.
  6. Ramsey, 1928.
  7. 1 2 Шараев, 2006, с. 71—76.
  8. 1 2 Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 268—269.
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Rebelo, 1990.
  10. Rebelo S., 1991.
  11. 1 2 3 Аджемоглу, 2018, с. 608.
  12. Аджемоглу, 2018, с. 607.
  13. 1 2 3 4 Аджемоглу, 2018, с. 597.
  14. 1 2 3 4 Шараев, 2006, с. 73.
  15. 1 2 3 4 Аджемоглу, 2018, с. 609.
  16. 1 2 3 Аджемоглу, 2018, с. 599.
  17. Туманова, Шагас, 2004, с. 230.
  18. Аджемоглу, 2018, с. 445.
  19. Palgrave (Kamihigashi), 2018, с. 13860.
  20. 1 2 3 4 Аджемоглу, 2018, с. 610.
  21. Аджемоглу, 2018, с. 610—611.
  22. 1 2 3 4 5 Аджемоглу, 2018, с. 602.
  23. 1 2 3 4 Аджемоглу, 2018, с. 603.
  24. Аджемоглу, 2018, с. 596—603.
  25. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 596.
  26. 1 2 Шараев, 2006, с. 71.
  27. 1 2 Аджемоглу, 2018, с. 598.
  28. Шараев, 2006, с. 74.
  29. Шараев, 2006, с. 75.
  30. Аджемоглу, 2018, с. 601.
  31. 1 2 Шараев, 2006, с. 76.
  32. Аджемоглу, 2018, с. 595—596.
  33. Romer, 1986.
  34. Lucas, 1988.
  35. Mankiw, Romer, Weil, 1990.
  36. Шараев, 2006, с. 101.
  37. Шараев, 2006, с. 86.
  38. Шараев, 2006, с. 86—87.
  39. Туманова, Шагас, 2004, с. 220.
  40. Аджемоглу, 2018, с. 698.
  41. Аджемоглу, 2018, с. 619.
  42. 1 2 3 Аджемоглу, 2018, с. 618.
  43. Туманова, Шагас, 2004, с. 216.

Литература

править