Аксиомы Биркгофа

(перенаправлено с «Аксиоматика Биргофа»)

Аксиомы Биркгофа — система из четырёх постулатов в евклидовой геометрии. Эти постулаты основаны на утверждениях, которые можно проверить, проводя измерения с помощью транспортира и линейки.

В формулировке постулатов используются вещественные числа. Поэтому система постулатов Биркгофа напоминает введение евклидовой геометрии при помощи модели.

ИсторияПравить

Предложена Джорджем Биркгофом[1]. Биркгоф участвовал в написании школьного учебника с использованием этой системы аксиом.[2] Эта система повлияла на систему аксиом, разработанную School Mathematics Study Group (англ.) для американской школы.

Несколько более поздних книг по основаниям геометрии, книги [3], [4] и [5] использует аксиоматику, близкую к Биркгофовской.

ПостулатыПравить

Постулат I: Множество точек {A, B, …} на любой прямой допускает биекцию на вещественные числа {a, b, … }, так что

 

для всех точек A и B.

Постулат II: Существует одна и только одна прямая , которая содержит любые две различные точки Р и Q.

Постулат III: Множество лучей {ℓ,m, n,…} с началом в любой точке O допускает биекцию на множество вещественных чисел по модулю 2π так, что если A и B — точки (отличные от О) на лучах и m соответственно, то  . Кроме того, если точка B на m двигается непрерывно вдоль прямой р, не содержащей вершину О, то число am также меняется непрерывно.

Постулат IV. Предположим, два треугольника   и   таковы, что  ,   для некоторого вещественного числа   и  , тогда  ,   и  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Birkhoff, George David (1932), A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors), Annals of Mathematics Т. 33: 329–345, DOI 10.2307/1968336 
  2. Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5 
  3. Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9 
  4. Martin, George E. The foundations of geometry and the non-Euclidean plane. ISBN: 0-387-90694-0
  5. Anton Petrunin. Euclidean plane and its relatives; a minimalistic introduction. — 2017. — ISBN 978-1974214167.