Аксиоматика Гильберта

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемые понятия

Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Гильберта являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных отношения:

• Лежать между, применимо к точкам;
• Принадлежать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
• Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом $\cong$.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено иное.

Аксиомы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

• аксиомы принадлежности:
  • планиметрические:
    1. Каковы бы ни были две точки $A$ и $B$, существует прямая $a$, которой принадлежат эти точки.
    2. Каковы бы ни были две различные точки $A$ и $B$, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
    3. Каждой прямой $a$ принадлежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой.
  • стереометрические:
    1. Каковы бы ни были три точки $A$, $B$ и $C$, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость $\alpha$, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
    2. Каковы бы ни были три точки $A$, $B$ и $C$, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
    3. Если две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $a$, принадлежат некоторой плоскости $\alpha$, то каждая точка, принадлежащая прямой $a$, принадлежит указанной плоскости.
    4. Если существует одна точка $A$, принадлежащая двум плоскостям $\alpha$ и $\beta$, то существует, по крайней мере, ещё одна точка $B$, принадлежащая обеим этим плоскостям.
    5. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
• аксиомы порядка:
  • линейные:
    1. Если точка $B$ прямой $a$ лежит между точками $A$ и $C$ той же прямой, то $A$, $B$ и $C$ — различные точки указанной прямой, причём $B$ лежит также и между $C$ и $A$.
    2. Каковы бы ни были две различные точки $A$ и $C$, на определяемой ими прямой существует, по крайней мере, одна точка $B$ такая, что $B$ лежит между $A$ и $C$, и, по крайней мере, одна точка $D$, такая, что $C$ лежит между $A$ и $D$.
    3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими.
  • планиметрическая:
    1. Аксиома Паша. Пусть $A$, $B$ и $C$ — три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ — прямая в плоскости ($ABC$), не проходящая ни через одну из точек $A$, $B$, $C$. Если при этом прямая $a$ проходит через точку отрезка $AB$, то она непременно проходит через точку отрезка $AC$ или точку отрезка $BC$.
• аксиомы конгруэнтности:
  • линейные:
    1. Если $A$ и $B$ — две точки, лежащие на прямой $a$, $A'$ — точка на той же прямой или на другой прямой $a'$, то по данную от точки $A'$ сторону прямой $a'$ найдётся, и притом только одна, точка $B'$ такая, что отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $AB$. Каждый отрезок $AB$ конгруэнтен отрезку $BA$.
    2. Если отрезки $A'B'$ и $A''B''$ конгруэнтны одному и тому же отрезку $AB$, то они конгруэнтны и между собой.
    3. Пусть $AB$ и $BC$ — два отрезка прямой $a$, не имеющие общих внутренних точек, $A'B'$ и $B'C'$ — два отрезка той же прямой, или другой прямой $a'$, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок $AB$ конгруэнтен отрезку $A'B'$, а отрезок $BC$ конгруэнтен отрезку $B'C'$, то отрезок $AC$ конгруэнтен отрезку $A'C'$.
  • планиметрические:
    1. Если даны угол $\angle ABC$ в плоскости $\alpha$ и луч $B'C'$ в плоскости $\beta$, тогда в плоскости $\beta$ существует ровно один луч $B'D$ по определённую сторону от $B'C'$ (и соответственно второй луч $B'E$ по другую сторону от $B'C'$), такой, что $\angle DB'C'$ $\cong$ $\angle ABC$ (и соответственно $\angle EB'C'$ $\cong$ $\angle ABC$). Следствие: Каждый угол конгруэнтен самому себе.
    2. Если для двух треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ имеют место конгруэнции: $AB\cong A'B'$, $AC\cong A'C'$, $\angle BAC\cong \angle B'A'C'$, то всегда имеют место и конгруэнции: $\angle ABC\cong \angle A'B'C'$, $\angle ACB\cong \angle A'C'B'$.
• аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидову формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:
  • планиметрические:
    1. Пусть $a$ — произвольная прямая, и $A$ — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой $A$ и прямой $a$, можно провести не более одной прямой, проходящей через $A$ и не пересекающей $a$.
• аксиомы непрерывности:
  • линейные:
    1. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок $CD$ и луч $AB$, то существует число $n$ и $n$ точек $A_{1},...,A_{n}$ на $AB$ таких, что $A_{j}A_{j+1}$ $\cong CD$, $0\leqslant j<n$, $A_{0}$ совпадает с $A$, и $B$ лежит между $A$ и $A_{n}$.
    2. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

21-я аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена $A,B,C$ и $D$ так, чтобы точка $B$ лежала между точками $A$ и $C$, а также между $A$ и $D$; точка $C$ — между $A$ и $D$, а также между $B$ и $D$».

Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.

Полнота и непротиворечивость

Как доказал Альфред Тарский (1951), аксиоматика Гильберта логически полна, то есть любое (формальное) высказывание о содержащихся в ней геометрических понятиях может быть доказано или опровергнуто. Она также непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

История

Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.

Другие системы аксиом

Создатели догильбертовских систем:

• Евклид
• Паш
• Шур
• Пеано (включает понятие «движение»)
• Веронезе
• М. Пиери (1899)

Родственные гильбертовой:

• В. Ф. Каган (1902)
• О. Веблен (1904)
• А. Колмогоров

Более современные аксиоматики:

• Аксиоматика Александрова
• Аксиоматика Бахмана
• аксиоматика Тарского
• аксиоматика Биркгофа — содержит «аксиому линейки» и «аксиому транспортира». Её варианты используются в большинстве американских школьных учебников, к ней близка аксиоматика Погорелова.
• Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.

Ссылки

• Д. Гильберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 356-363. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.