Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок AB (выделен красным)

Отрезок в геометрииПравить

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки   и  , обозначается символом  . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают   или  .

Направленный отрезокПравить

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки   и   представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки   и   не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямойПравить

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел  , удовлетворяющих неравенству  , где заранее заданные вещественные числа   и     называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа  , удовлетворяющие неравенству  , называются внутренними точками отрезка[1].

Отрезок обычно обозначается  :

 .

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число   называется длиной числового отрезка  .

Стягивающаяся система сегментовПравить

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой  .

Система сегментов обозначается  . Подразумевается, что каждому натуральному числу   поставлен в соответствие отрезок  .

Система сегментов   называется стягивающейся, если[2]

  • каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
     
  • соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
     

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

  где  квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности[3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  3. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. - М.-Л., Гостехиздат, 1948. - с. 30-31