Евклидово пространство

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$-мерное евклидово пространство обычно обозначается $\mathbb {E} ^{n}$; также часто используется обозначение $\mathbb {R} ^{n}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot ,\cdot ),$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов $u,v,w$ и для любых вещественных чисел $a,b\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)$ и $(u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметричность: для любых векторов $u,v\quad (u,v)=(v,u);$
• Положительная определённость: для любого $u\quad (u,u)\geqslant 0,$ причём $(u,u)=0\Rightarrow u=0.$

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство $\mathbb {R} ^{n},$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ скалярное произведение в котором определяется формулой $(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора $u$ определяется как ${\sqrt {(u,u)}}$ и обозначается $|u|.$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|au|=|a||u|,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $u$ и $v$ определяется по формуле $\varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен ${\frac {\pi }{2}}.$

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы $\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)$ был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $\left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: $|u+v|\leqslant |u|+|v|.$ Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d(x,y)=|x-y|$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $x$ и $y$ координатного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ задаётся формулой $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ и $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, $n$-мерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора $x$ на подпространство $U$ — это вектор $h,$ ортогональный $U,$ такой что $x$ представим в виде $u+h,$ где $u\in U.$ Расстояние между концами векторов $u$ и $x$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора $x$ до подпространства $U.$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^{*}$ на этом пространстве, определяемый как $x^{*}(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор $v$, переводящий точку $p$ в точку $p+v$. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию $Q^{\mathsf {T}}Q=E$, где $Q^{\mathsf {T}}$ — транспонированная матрица, а $E$ — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• $\mathbb {E^{1}}$ размерности $1$ (вещественная прямая),
• $\mathbb {E^{2}}$ размерности $2$ (евклидова плоскость),
• $\mathbb {E^{3}}$ размерности $3$ (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• ${\mathcal {P}}^{n}$ пространство вещественных многочленов степени, не превосходящей $n$, со скалярным произведением, определённым как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-x^{2}}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

• Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)
• Гиперсфера

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.
• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.
• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.