Открыть главное меню

Ба́зис (др.-греч. βασις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

  • Базис Га́меля (англ. Hamel basis), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре.
  • Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства.

В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

Происхождение терминаПравить

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βασις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Базис на плоскости и в трёхмерном пространствеПравить

 
Базис на плоскости. Базисные векторы изображены голубым и оранжевым цветом, зелёный вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зелёный = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

ОбозначенияПравить

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

 

или

 

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

 
Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются исходящими из общего начала).
 

или

 

— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

 

Представление какого-то конкретного (любого) вектора   пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

 

или

 

или, употребляя знак суммы  :

 

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты   называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора   в базисе   (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Виды базисовПравить

Базис ГамеляПравить

Базис Га́меля — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть   — полная, а   — линейно независимая система векторов. Тогда система   содержит набор векторов, дополняющий   до базиса пространства  .

Следствием этой леммы являются утверждения:

  1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
  2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
  3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается  ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

ПримерыПравить

  • Векторы   пространства   образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0:  .
  • В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции:  .
  • Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функцияПравить

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию  . Пусть   — базис Гамеля множества действительных чисел   над полем рациональных чисел  . Тогда для каждого   ( ) положим  , где   произвольные вещественные числа, например, рациональные (в этом случае функция   принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией  ). Такая функция   аддитивна, то есть удовлетворяет функциональному уравнению Коши  . Однако в общем случае, когда  , она отличается от линейной функции   и в силу этого является разрывной в любой точке, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале всюдо плотно числовую ось  .

Базис ШаудераПравить

Система векторов   топологического векторного пространства   называется базисом Шаудера (в честь Шаудера), если каждый элемент   разлагается в единственный, сходящийся к   ряд по  :

 

где   — числа, называемые коэффициентами разложения вектора   по базису  .

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций   является базисом Шаудера в пространстве  . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций  Править

  — банахово пространство с нормой  . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве  , но не в  . Шаудер сконструировал базис Шаудера   для  . Пусть   — плотное счетное множество точек на  ,  ,  , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка  , упорядоченными произвольным образом. Положим:  ,   — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию   так, чтобы   при   и  . Точки   разбивают   на   отрезок. Точка   лежит строго внутри одного из них. Пусть это   для каких-то   (порядок нумерации чисел   не соответствует их величине).

 
Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение  . Красным цветом на графике выделен участок, на котором   отличается от   (синяя ломаная).

Положим:

  вне отрезка  
  при  
  при  

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции   по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений  . Частичная сумма первых   членов ряда

 

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией   с узлами в точках  ; формула для коэффициентов   (см. Рис.)

Проблема базисаПравить

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографииПравить

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами[1]:212-214. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

ЛитератураПравить