Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам . Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы[2].
Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств[англ.], где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.
Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.
Определение
правитьЛинейное, или векторное, пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где
- — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами.
- — поле, элементы которого называются скалярами.
- Определена операция сложения векторов , сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , называемый их суммой и обозначаемый .
- Определена операция умножения векторов на скаляры , сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый или .
Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:
- для любых (коммутативность сложения);
- для любых (ассоциативность сложения);
- существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором, или просто нулём, пространства ;
- для любого существует такой элемент , что , называемый вектором, противоположным вектору ;
- (ассоциативность умножения на скаляр);
- (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля сохраняет вектор).
- (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
- (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).
Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы.
Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).
Простейшие свойства
править- Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
- Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
- для любого .
- Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
- для любого .
- для любых и .
- для любого .
Связанные определения и свойства
правитьПодпространство
правитьАлгебраическое определение: Линейное подпространство, или векторное подпространство, ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определённым в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
- для всякого вектора вектор также принадлежал при любом ;
- для всяких векторов вектор также принадлежал .
Эти два утверждения эквивалентны следующему:
- для всяких векторов вектор также принадлежал для любых .
В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными, или нетривиальными.
Свойства подпространств
править- Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
- Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
- .
- Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.
Линейные комбинации
правитьФормальное выражение вида
называется[3] линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).
Линейная комбинация называется:
- нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1[4],
- выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
- сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.
Базис и размерность
правитьВекторы называются[5] линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть
при некоторых ненулевых коэффициентах (то есть если хотя бы один из не равен нулю).
В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.
Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Можно показать[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это упорядоченное множество — базисом (базисом Га́меля, или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом .
Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.
Свойства базиса:
- Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
- Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
- .
Линейная оболочка
правитьЛинейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порождённым . Говорят также, что линейная оболочка — пространство, натянутое на множество .
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.
Изоморфизм
правитьДва линейных пространства и называются изоморфными, если между векторами и можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:
- если вектору соответствует вектор , а вектору соответствует вектор , то вектору соответствует вектор
- если вектору соответствует вектор , и - элемент поля , то вектору соответствует вектор [7]
Примеры
править- Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
- Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной мощности .
- Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
- Любое поле является одномерным пространством над собой.
- Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.
Дополнительные структуры
правитьСм. также
правитьПримечания
править- ↑ Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «скалярное произведение».
- ↑ Ильин, Позняк, 2010, с. 45.
- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 8.
- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 198.
- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 16.
- ↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 14.
- ↑ Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70
Литература
править- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
- Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
- Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
- Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.