Открыть главное меню

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля[⇨].

ИсторияПравить

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определенияПравить

Алгебра над множеством  , образующая коммутативную группу по сложению   над   с нейтральным элементом   и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами  , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество   с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения   и умножения   ( , т. е.  ) называется полем  , если выполнены следующие аксиомы:

  1. Коммутативность сложения:  .
  2. Ассоциативность сложения:  .
  3. Существование нулевого элемента:  .
  4. Существование противоположного элемента:  .
  5. Коммутативность умножения:  .
  6. Ассоциативность умножения:  .
  7. Существование единичного элемента:  .
  8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов:  .
  9. Дистрибутивность умножения относительно сложения:  .

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению   над  , аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению   над  , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольцаОбласти целостностиФакториальные кольцаОбласти главных идеаловЕвклидовы кольцаПоля.

Связанные определенияПравить

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение  , такое что  ,   и  . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как  , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число   такое, что сумма   копий единицы равна нулю:

 

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

СвойстваПравить

  • Характеристика поля всегда   или простое число.
    • Поле характеристики   содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел  .
    • Поле простой характеристики   содержит подполе, изоморфное полю вычетов  .
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно   — степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида   существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из   элементов, обычно обозначаемое  .
  • В поле нет делителей нуля.
  • Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля   изоморфна  .
  • С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полейПравить

Поля характеристики, равной 0Править

  •   — рациональные числа,
  •   — вещественные числа,
  •   — комплексные числа,
  •  алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле  ).
  • Числа вида  ,  , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в  .
  •   — поле рациональных функций вида  , где   и   — многочлены над некоторым полем   (при этом  , а   и   не имеют общих делителей, кроме констант).

Поля ненулевой характеристикиПравить

Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:

  •   — поле вычетов по модулю  , где   — простое число.
  •   — конечное поле из   элементов, где   — простое число,   — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
  • P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
  • Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
  • Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.