Область главных идеалов

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).

Элементы кольца главных идеалов в некотором смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.

Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольца $\supset$ Области целостности $\supset$ Факториальные кольца $\supset$ Области главных идеалов $\supset$ Евклидовы кольца $\supset$ Поля

Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.

Примеры

• Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$
• Кольцо многочленов над полем $k-k[x]$, а также кольцо формальных степенных рядов
• $\mathbb {Z} [i]$ — кольцо гауссовых целых чисел
• Кольцо целых чисел Эйзенштейна

Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:

• $\mathbb {Z} [x]$ — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал $(2,x)$ нельзя породить одним многочленом)
• Кольцо многочленов от двух переменных $k[x,y]$ (идеал $(x,y)$ не является главным)

Модули

Основная статья: Структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов

Основной результат здесь — следующая теорема: если $R$ — область главных идеалов и $M$ — конечнопорожденный модуль над $R$, то $M$ разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из $R$ в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид $R/xR$ для некоторого $x\in R$.

В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это неверно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение $\mathbb {Z} [X]$-модулей $(2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X].$

См. также

• Алгоритм Евклида
• Нормальная форма Смита

Литература

• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1