Нормальная форма Смита

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы.

Формулировка

Для любой матрицы $A$ размера $m\times n$ над областью главных идеалов $R$ существуют такие обратимые над $R$ матрицы $B$ и $C$, что $BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$, где $g_{i+1}$ делится на $g_{i}$. Здесь $\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ обозначает матрицу размера $m\times n$ с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях.

Применения

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если $R$ — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если $R=F[t]$ — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем $F$, то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

См. также

• Эрмитова нормальная форма

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.