Алгебраически замкнутое поле

Алгебраически замкнутое полеполе , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

СвойстваПравить

КонструкцияПравить

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле  . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим   как множество всех неприводимых многочленов над полем  . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную  . Обозначим за   множество всех таких переменных  . Образуем кольцо многочленов  . Можно показать, что идеал  , порождённый всеми многочленами вида  , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу  , содержающему идеал   (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле  . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем  .

На поле   можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю   по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля   и получим поле  . Повторяя это   раз можно получить поле  . Таким образом, мы имеем башню полей:

 

Объединение всех этих полей даст поле  . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.