Открыть главное меню

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений с вещественными и комплексными коэффициентами.

ДоказательствоПравить

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Поэтому, функция  , где   — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

СледствиеПравить

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени   над полем комплексных чисел имеет в нём ровно   корней, с учётом их кратности.

Доказательство следствияПравить

У многочлена   есть корень  , значит, по теореме Безу, он представим в виде  , где   — другой многочлен. Применим теорему к   и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте   не окажется линейный множитель.

ИсторияПравить

Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (Peter Roth или Peter Rothe, ?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен  -й степени может иметь не более   корней. Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде «Новое открытие в алгебре» (1629): уравнение степени   должно иметь ровно   корней, действительных (включая отрицательные) или воображаемых (последний термин обозначал комплексные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если «уравнение неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили своё время и широкой известности не получили[1].

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»[2].

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году[3]; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано, доказательство Эйлера[4], при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер[5]. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772)[6], Лапласа (1795)[7] и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные[8].

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера[8]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс[9].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. История математики, том II, 1970, с. 23—25.
  2. История математики, том II, 1970, с. 42.
  3. D'Alembert. Recherches sur le calcul intégral // Memoires de l'academie royale des sciences et des belles lettres. — Berlin, 1748. — Vol. 2. — P. 182-224.
  4. Euler. Recherches sur les racines imaginaires des equations // Memoires de l'academie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1751. — Vol. 5. — P. 222-288.
  5. Башмакова, 1957, с. 258.
  6. Башмакова, 1957, с. 259.
  7. Башмакова, 1957, с. 263.
  8. 1 2 Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / Под редакцией Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1978. — С. 44—49.
  9. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Основная теорема алгебры (англ.) — биография в архиве MacTutor.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  • J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996).