Корень многочлена

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

Из графика многочлена $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ видно, что у него три корня: 1, 2 и 3.

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$

над полем $K$ — это элемент $c\in K$ (либо элемент расширения поля $K$) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

• данный многочлен делится на многочлен $x-c$;
• подстановка элемента $c$ вместо $x$ обращает уравнение

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0$

в тождество, то есть значение многочлена становится равным нулю.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень $c$ имеет кратность $m$, если рассматриваемый многочлен делится на $(x-c)^{m}$ и не делится на $(x-c)^{m+1}.$ Например, многочлен $x^{2}-2x+1$ имеет единственный корень, равный $1$ кратности $2$. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Говорят, что многочлен имеет $n$ корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.

Свойства

• Количество корней многочлена с учётом кратности не меньше, чем без учёта кратности.
• Число корней многочлена степени $n$ не превышает $n$ даже в том случае, если кратные корни считать с учётом кратности.
• Всякий многочлен $p(x)$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень (основная теорема алгебры).
  • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля на месте поля комплексных чисел (по определению).
  • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами $p(x)$ можно записать в виде

$p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),$

где $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ — (в общем случае комплексные) корни многочлена $p(x)$, возможно с повторениями, при этом если среди корней $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ многочлена $p(x)$ встречаются равные, то их общее значение называется кратным корнем, а количество — кратностью этого корня.

• Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени $n$ с учётом кратности равно $n$. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности. Таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь с учётом кратности только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
• Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов в общем виде, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов (то есть то, что сами уравнения не являются разрешимыми в радикалах), было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, при некоторых особых комбинациях коэффициентов корни уравнения всё же могут быть определены (см., например, возвратное уравнение). Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., например, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL -алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона, Метод Лобачевского — Греффе. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.

См. также

• Схема Горнера
• Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
• Нуль функции

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.