Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ние, или уравне́ние второ́й сте́пени, — алгебраическое уравнение общего вида

в котором выступает квадратный трёхчлен[1], или трёхчлен второй степени, , где — неизвестное, , , коэффициенты, причём

Корень уравнения — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • называют первым или старшим коэффициентом,
  • называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при ,
  • называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравненияхПравить

Древний ВавилонПравить

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

 

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

ИндияПравить

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:   притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме   могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чиселПравить

I способ. Общая формула для вычисления корнейПравить

Для нахождения корней квадратного уравнения   в общем случае применяется приводимый ниже алгоритм:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: дискриминантом уравнения   называется выражение  .
Условие      
Число действительных корней корней два корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях — его к тому же называют корнем кратности 2) корней на множестве действительных чисел нет
Формула
 

 
формула мнимых корней ниже

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте bПравить

Для уравнений вида  , то есть при чётном  , где

 

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант
Корни
неприведённое приведённое D > 0 неприведённое приведённое
удобнее вычислять значение

четверти дискриминанта:

 

Все необходимые свойства при этом сохраняются.

 .    
D = 0    

III способ. Решение неполных квадратных уравненийПравить

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

b = 0, c = 0
b=0; c≠0
b≠0; c=0
 
(процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)
 Если  , то уравнение имеет два действительных корня, a если  , то уравнение не имеет действительных корней.  

  или   

Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентовПравить

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициентуПравить

Если в квадратном уравнении   сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  , то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( ).

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулюПравить

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( ), то корнями такого уравнения являются   и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ( ).

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множителиПравить

Если трёхчлен вида   удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей  , то можно найти корни уравнения   — ими будут   и  , действительно, ведь   а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)Править

Если квадратный трёхчлен имеет вид  , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

 
 
 

Выделение полного квадрата суммы (разности)Править

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

  1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
     .
  2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
     
     
  3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
     
     

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы ВиетаПравить

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число)  , будучи решением системы уравнений

 
являются корнями уравнения  .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»Править

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:
 
 
2) заменяем  
 

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Геометрический смыслПравить

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент   положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент   положительный (при положительном  , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравненийПравить

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида   заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций   и   и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Способ IПравить

Для решения квадратного уравнения   этим способом строится график функции   и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью  .

Способ IIПравить

Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду   и строят в одной системе координат графики квадратичной функции   и линейной функции  , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Способ IIIПравить

Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду  , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в  . После этого строятся график функции   (им является график функции  , смещённый на   единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую  , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Способ IVПравить

Квадратное уравнение преобразуют к виду  , строят график функции   (им является график функции  , смещённый на   единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и  , находят абсциссы их общих точек.

Способ VПравить

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

 
 

затем

 .

Совершив преобразования, строят графики линейной функции   и обратной пропорциональности  , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если  , то метод не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейкиПравить

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

  1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке  , пересекающую ось y в точке C(0;1).
  2. Далее возможны три случая:
    • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
    • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
    • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве   нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чиселПравить

Уравнение с действительными коэффициентамиПравить

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами   всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в зависимости от значения дискриминанта  , как один, так и оба корня могут не иметь мнимой части и быть вещественными:

  • при   вещественных корней два, и они вычисляются по формуле
     
  • при   корень один (о чём также можно говорить как о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
     
  • при   вещественных (действительных) корней нет, однако существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать, выразив корень из отрицательного числа в виде произведения корня с мнимой единицей:
     

Уравнение с комплексными коэффициентамиПравить

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравненияПравить

Квадратное уравнение вида   в котором старший коэффициент   равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

 

Мнемонические правила:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[2] q.

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Теорема ВиетаПравить

Формулировка для приведённого квадратного уравненияПравить

Сумма корней приведённого квадратного уравнения   равна коэффициенту   со знаком «минус», а произведение корней — свободному члену  

 

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравненияПравить

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения  

 

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

 
 

по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этогоПравить

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

  (2)

ДоказательствоПравить

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни   и   квадратного уравнения   образуют соотношения с его коэффициентами:  . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

 

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1Править

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

ДоказательствоПравить

Пусть  . Тогда, переписав это разложение, получим:

 .

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются   и  . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества  .

Следствие 2Править

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

ДоказательствоПравить

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве  , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

 
Для квадратичной функции:
f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, xкоординаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратнымПравить

АлгебраическиеПравить

Уравнение вида   является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой   где Eмножество значений функции f, c последующим решением квадратного уравнения  .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

  и
 

К примеру, если  , то уравнение принимает вид:

 

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным[3][1].

С помощью замены

 

к квадратному уравнению сводится уравнение

 

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение[1].

ДифференциальныеПравить

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

 

подстановкой   сводится к характеристическому квадратному уравнению:

 

Если решения этого уравнения   и   не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

 , где   и   — произвольные постоянные.

Для комплексных корней   можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

 

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают  , общее решение записывается в виде:

 

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. другой вариант — «несчастное»
  3. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1988.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить