Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ниеалгебраическое уравнение второй степени с общим видом

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • называют первым или старшим коэффициентом,
  • называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при ,
  • называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравненияхПравить

Древний ВавилонПравить

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

 

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

ИндияПравить

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:   притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме   могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чиселПравить

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминантаПравить

Дискриминантом квадратного уравнения   называется величина  .

Условие      
Количество корней Два корня Один корень кратности 2
(другими словами, два равных корня)
Действительных корней нет
Формула
        (1)
 

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте bПравить

Для уравнений вида  , то есть при чётном  , где

 

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант
Корни
неприведённое приведённое D > 0 неприведённое приведённое
удобнее вычислять значение

четверти дискриминанта:

 

Все необходимые свойства при этом сохраняются.

 .    
D = 0    

III способ. Решение неполных квадратных уравненийПравить

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

b = 0, c = 0
b=0; c≠0
b≠0; c=0
 
(процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)
 Если  , то уравнение имеет два действительных корня, a если  , то уравнение не имеет действительных корней.  

  или   

Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентовПравить

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициентуПравить

Если в квадратном уравнении   сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  , то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( ).

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулюПравить

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( ), то корнями такого уравнения являются   и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ( ).

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множителиПравить

Если трёхчлен вида   удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей  , то можно найти корни уравнения   — ими будут   и  , действительно, ведь   а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)Править

Если квадратный трёхчлен имеет вид  , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

 
 
 

Выделение полного квадрата суммы (разности)Править

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

  1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
     .
  2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
     
     
  3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
     
     

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы ВиетаПравить

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число)  , будучи решением системы уравнений

 
являются корнями уравнения  .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»Править

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:
 
 
2) заменяем  
 

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Геометрический смыслПравить

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент   положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент   положительный (при положительном  , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравненийПравить

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида   заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций   и   и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Способ IПравить

Для решения квадратного уравнения   этим способом строится график функции   и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью  .

Способ IIПравить

Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду   и строят в одной системе координат графики квадратичной функции   и линейной функции  , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Способ IIIПравить

Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду  , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в  . После этого строятся график функции   (им является график функции  , смещённый на   единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую  , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Способ IVПравить

Квадратное уравнение преобразуют к виду  , строят график функции   (им является график функции  , смещённый на   единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и  , находят абсциссы их общих точек.

Способ VПравить

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

 
 

затем

 .

Совершив преобразования, строят графики линейной функции   и обратной пропорциональности  , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если  , то метод не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейкиПравить

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

  1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке  , пересекающую ось y в точке C(0;1).
  2. Далее возможны три случая:
    • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
    • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
    • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве   нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чиселПравить

Уравнение с действительными коэффициентамиПравить

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами   всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

  • при   уравнение будет иметь два вещественных корня:
     
  • при   — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
     
  • при   — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
     

Уравнение с комплексными коэффициентамиПравить

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравненияПравить

Квадратное уравнение вида   в котором старший коэффициент   равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

 

Мнемонические правила:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[2] q.

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема ВиетаПравить

Формулировка для приведённого квадратного уравненияПравить

Сумма корней приведённого квадратного уравнения   равна коэффициенту   со знаком «минус», а произведение корней — свободному члену  

 

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравненияПравить

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения  

 

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

 
 

по которой можно устно находить ax1, ax2, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этогоПравить

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

  (2)

ДоказательствоПравить

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни   и   квадратного уравнения   образуют соотношения с его коэффициентами:  . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

 

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1Править

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

ДоказательствоПравить

Пусть  . Тогда, переписав это разложение, получим:

 .

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются   и  . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества  .

Следствие 2Править

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

ДоказательствоПравить

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве  , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

 
Для квадратичной функции:
f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, xкоординаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x2x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратнымПравить

АлгебраическиеПравить

Уравнение вида   является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой   где Eмножество значений функции f, c последующим решением квадратного уравнения  .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

  и
 

К примеру, если  , то уравнение принимает вид:

 

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным[3][1].

С помощью замены

 

к квадратному уравнению сводится уравнение

 

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение[1].

ДифференциальныеПравить

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

 

подстановкой   сводится к характеристическому квадратному уравнению:

 

Если решения этого уравнения   и   не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

 , где   и   — произвольные постоянные.

Для комплексных корней   можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

 

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают  , общее решение записывается в виде:

 

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 7 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. другой вариант — «несчастное»
  3. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1988.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить