Теория колебаний

Теория колебаний — раздел математики, в котором рассматриваются всевозможные колебания, абстрагируясь от их физической природы. Для этого используется аппарат дифференциальных уравнений.

Гармонические колебания править

Гармонические колебания — это такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонения маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

 

Гармонические колебания с затуханием править

Гармонические колебания с затуханием — это такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонения маятника) изменяется со временем, как произведение синуса (косинуса) на убывающую экспоненту.

 

Параметрические колебания править

Параметрические колебания происходят когда один из параметров системы (коэффициент дифференциального уравнения колебаний) изменяется периодически. Пример — качели (маятник) с изменяемой длиной.

Негармонические колебания править

Как установил в 1822 году Фурье, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний путём разложения соответствующей функции в ряд Фурье. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т. д.[1]

См. также править

Примечания править

  1. § 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы. // Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга. — 13-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. — С. 41—44.

Литература править

  • Заболотнов Ю. М. «Теория колебаний» Архивная копия от 8 марта 2016 на Wayback Machine
  • А. А. Андронов , А. А. Витт , С. Э. Хайкин. Теория колебаний. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 916 с. — 20 000 экз.
  • Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. — 408 с.
  • Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. Л. Фуфаев. Теория нелинейных колебаний. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1976. — 385 с.
  • Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 2002. — 560 с. — ISBN 5-93972-200-8.
  • Кузнецов А. П. Нелинейные колебания: Учеб. пособие для вузов. — М., 2002. — 292 с. — ISBN 5-94052-058-8.