Псевдогармонические колебания

Псевдогармоническое колебание — разновидность колебаний, для которых возвращающая сила (сила, стремящаяся вернуть тело в равновесное состояние) не является линейной по величине отклонения. Другими словами, это колебания, для которых «гибкость» системы зависит от перемещения.

Уравнение колебаний

Общий вид уравнения псевдогармонических колебаний:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\dots )$.

Если можно пренебречь всеми членами F нелинейными по x, то данное уравнение переходит в уравнение гармонических колебаний.

Примеры

Упругая невесомая проволока длиной 2l закреплена с двух концов. Груз массы m закреплен посередине проволоки. В начальный момент времени груз выведен из положения равновесия на расстояние a << l и отпущен без начальной скорости. Сила натяжения проволоки - P, её сечение - F и модуль Юнга - Е. Уравнение колебаний в данном случае запишется в виде:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{3}}}$.

Решение этого уравнения можно представить в виде:

$x=a\,\operatorname {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)$.

Здесь символом $\operatorname {cn}$ обозначена эллиптическая функция Якоби. Период таких колебаний равен:

$T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^{2}+2EFa^{2}}}}\right)$

Здесь К - полный нормальный эллиптический интеграл первого рода

См. также

• Гармонические колебания

Литература

• Ю.С. Сикорский Обыкновенные Дифференциальные уравнения //М., УРСС, 2005