Открыть главное меню

Дискримина́нт многочлена , , есть произведение

,
где  — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Содержание

СвойстваПравить

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  •  , где   — результант многочлена   и его производной  .
    • В частности, дискриминант многочлена
 
равен, с точностью до знака, определителю следующей  -матрицы:

 

ПримерыПравить

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степениПравить

Дискриминант квадратного трёхчлена   равен  

  • При   вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
 .
  • При   корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
 .
  • При   вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
 .

Многочлен третьей степениПравить

Дискриминант кубического многочлена   равен

 

В частности, дискриминант кубического многочлена   (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен  .

  • При   кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При   он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При   кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степениПравить

Дискриминант многочлена четвертой степени   равен

 

Для многочлена   дискриминант имеет вид

 

и равенство   определяет в пространстве   поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При   многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При   многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена  :[1]
  • если  , то все корни комплексные,
  • если   и  , то все корни комплексные,
  • если   и  , то все корни вещественные.
  • При   многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее:[1]
  • если   и  , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если   и  , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если   и  , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если   и  , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если  ,   и  , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если  ,   и  , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если   и  , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если   и  , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если   и  , то один вещественный корень кратности 4.

ИсторияПравить

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[2].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Rees, E. L. (1922). «Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation». The American Mathematical Monthly 29 (2): 51–55. DOI:10.2307/2972804.
  2. Matrices and Determinants — Numericana