Открыть главное меню

Ла́сточкин хвост (англ. swallow tail) — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.

Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик[1]. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений .

«Ласточкин хвост» и его сечения плоскостями

Содержание

ОпределениеПравить

Рассмотрим многочлен   от переменной  , зависящий от коэффициентов   (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов   однозначно соответствует многочлен  , а также точка в пространстве с декартовыми координатами  . Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность   в пространстве с координатами  , точкам которой соответствуют многочлены  , имеющие кратные корни.

Поверхность   имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность   разбивает пространство   на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена  . Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы,   имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.

Параметрическое задание

Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена   дает систему из двух уравнений:

 

откуда нетрудно выразить переменные   через  :

 

Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты  , рассматривая переменные   в правой части полученных уравнений как параметры:  , и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением  , получаем параметрическую запись:

 

В искусствеПравить

В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (The Swallow's Tailruen), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности   в пространстве   плоскостью   — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов[2][3][4][5].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
  2. Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали.
  3. Теория катастроф 1979 - 1983.
  4. The Swallow’s Tail
  5. Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l’oeuvre et l’homme (Lausanne: Edita, 1984).