Ласточкин хвост (поверхность)

Ла́сточкин хвост (англ. swallow tail) — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.

Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$.

«Ласточкин хвост» и его сечения плоскостями $a={\rm {const}}$

Определение

Рассмотрим многочлен $P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c$ от переменной $x$, зависящий от коэффициентов $a,b,c$ (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов $a,b,c$ однозначно соответствует многочлен $P(x)$, а также точка в пространстве с декартовыми координатами $(a,b,c)$. Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность $S$ в пространстве с координатами $(a,b,c)$, точкам которой соответствуют многочлены $P(x)$, имеющие кратные корни.

Поверхность $S$ имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность $S$ разбивает пространство $(a,b,c)$ на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена $P(x)$. Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, $P(x)$ имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.

Параметрическое задание

Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена $P(x)$ дает систему из двух уравнений:

$P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c=0,\ \ P'(x)=4x^{3}+2ax+b=0,$

откуда нетрудно выразить переменные $b,c$ через $a,x$:

$\left\{{\begin{matrix}b=&-2(2x^{3}+ax)\\c=&3x^{4}+ax^{2}.\\\end{matrix}}\right.$

Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты $x_{1}=a,\ x_{2}=-b/2,\ x_{3}=c$, рассматривая переменные $a,x$ в правой части полученных уравнений как параметры: $u=a,\ v=x$, и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением $x_{1}=u$, получаем параметрическую запись:

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}(u,v)=&u\\x_{2}(u,v)=&2v^{3}+uv\\x_{3}(u,v)=&3v^{4}+uv^{2}.\\\end{matrix}}\right.$

В искусстве

В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (англ. The Swallow's Tail), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности $S$ в пространстве $(a,b,c)$ плоскостью $a=const>0$ — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов .

См. также

• Дискриминант

Литература

• Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.