Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

  •  
  •  

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле:

 

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

 

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

 

и остаётся

 

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

 .

Чтобы это было равно  , мы должны иметь

 

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

  •  
  •  
  •  

Формулы для четвёртой степени

  •  
  •   (выводится из  )
  •  

Формулы для n-й степени

  •  
  •  , где  
  •  
  •  , где  

В комплексных числах

  •  
  •  
  •  
  •  

Для произвольной чётной степени:

  •  , где   пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

  •  , где   пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

  •  , где  
  •  , где  

См. также

Литература

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.