Нуль функции

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

является нулём, поскольку

.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочленаПравить

Основная теорема алгебрыПравить

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализПравить

Простой нуль голоморфной в некоторой области   функции   — точка  , в некоторой окрестности которой справедливо представление  , где   голоморфна в   и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка   голоморфной в некоторой области   функции   — точка  , в некоторой окрестности которой справедливо представление  , где   голоморфна в   и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

ИсторияПравить

Кубические уравненияПравить

Исторически к появлению понятия мнимых чисел привело решение уравнений 3-й степени с тремя разными действительными корнями. По формуле Кардано все три корня   уравнения   равны

 

где   (на месте плюс-минуса подходят оба знака, если только C не обращается в 0),   а   — это все возможные комплексные корни 3-й степени из 1, а именно   и  

  • Если число   под квадратным корнем меньше нуля, а k и l вещественны, то   и  невещественные сопряжённые числа, а значит, при их сложении получатся три разных вещественных корня кубического уравнения.
  • Если   равняется нулю, то кубическое уравнение имеет один трёхкратный корень или два различных корня, один из которых двукратен.
  • Если же   больше нуля, а k и l действительны, то одно из чисел   является действительным, однако   и   уже не сопряжены: у них разные модули, — и в итоге у кубического уравнения только один вещественный корень, а остальные дванет.

  — это дискриминант уравнения   знак которого как раз определяет вещественность и кратность корней.

На первый взгляд, в 1-м и 3-м пунктах изложены парадоксальные случаи. Эта странность была разрешена и обоснована Рафаэлем Бомбелли и позволила ему полноценно легализовать мнимые числа, а также отрицательные числа, которые до него в Европе не были признаны.

ЛитератураПравить