Теорема Руше

По теореме Руше, если функции $f(z)$ и $g(z)$ голоморфны в односвязной области $G$, а на контуре $\partial G$ выполняется неравенство $|g(z)|<|f(z)|$, то в области $G$ функции $f$ и $f+g$ имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности.

Или: $f(z)$ и $g(z)$ голоморфны в односвязной области $G$, $h=f+g$, а $K$ — стандартный компакт, лежащий в $G$. Если $|g(z)|<|f(z)|\forall z\in Fr(K)$, то $\int \limits _{\delta k}{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz=\int \limits _{\delta k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$

Замечания

• Верно обобщение: если функции $f(z)$ и $g(z)$ голоморфны в односвязной области $G$, а на контуре $\partial G$ выполняется неравенство $|g(z)|\leq |f(z)|$ и $f,f+g$ не обращаются в 0, то в области $G$ функции $f,f+g$ имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности.

Ссылки

• Beardon, Alan. Complex Analysis: the Winding Number principle in analysis and topology (англ.). — John Wiley and Sons, 1979. — P. 131. — ISBN 0-471-99672-6.
• Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions (англ.). — 2nd. — Oxford University Press, 1939. — P. 117—119, 198—203. — ISBN 0-19-853349-7.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.