Открыть главное меню

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций:      синуса,      косинуса,      тангенса,      котангенса,      секанса,      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкцииэлементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции:
  • синус ();
  • косинус ();
производные тригонометрические функции:
  • тангенс ();
  • котангенс ();
другие тригонометрические функции:
  • секанс ();
  • косеканс ().

В английской и американской литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[1], но потом эти страны перешли на англо-американский стандарт.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Содержание

Способы определенияПравить

Геометрическое определениеПравить

 
Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

 
Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла   в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[2]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса   с центром в начале координат  . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча  , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки   обозначим  , ординату обозначим   (см. рисунок 2).

  • Синусом называется отношение  
  • Косинусом называется отношение  
  • Тангенс определяется как  
  • Котангенс определяется как  
  • Секанс определяется как  
  • Косеканс определяется как  

В силу свойств подобных фигур значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности  . Часто радиус принимают равным величине единичного отрезка; тогда синус равен ординате  , а косинус — абсциссе  . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если   — вещественное число, то синусом   в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна  . Аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых угловПравить

 
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

  • синусом угла   называется отношение   (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
  • косинусом угла   называется отношение   (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
  • тангенсом угла   называется отношение   (отношение противолежащего катета к прилежащему);
  • котангенсом угла   называется отношение   (отношение прилежащего катета к противолежащему);
  • секансом угла   называется отношение   (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
  • косекансом угла   называется отношение   (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке  , направлением оси абсцисс вдоль   и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами   (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и   (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализеПравить

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравненийПравить

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

 

с дополнительными условиями:   для косинуса и   для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

 
 

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравненийПравить

Функции косинус и синус можно определить[4] как решения (  и   соответственно) системы функциональных уравнений:

 

при дополнительных условиях:

    и   при  .

Определение тригонометрических функций через рядыПравить

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

 
 

Пользуясь этими формулами, а также равенствами       и   можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

 
 
 
 

где

  — числа Бернулли,
  — числа Эйлера.

Разложение в бесконечные произведенияПравить

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

 
 

Эти соотношения выполняются при любом значении  .

Цепные дробиПравить

 

Производные и первообразныеПравить

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

 

 

 

 

 

 

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[5]:

 

 

 

 

 

 

Значения тригонометрических функций для некоторых угловПравить

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

 
Значения косинуса и синуса на окружности
Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Значения тригонометрических функций нестандартных угловПравить

Радианы                  
Градусы                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   


Радианы                
Градусы                
                 
                 
                 
                 
                 
                 


Свойства тригонометрических функцийПравить

Простейшие тождестваПравить

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

 

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

 
 

Из определения тангенса и котангенса следует, что

 

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом[6]:

  sin cos tg ctg sec cosec
             
             
             
             
             
             

НепрерывностьПравить

  • Синус и косинус — непрерывные функции.
  • Тангенс и секанс имеют точки разрыва ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …, ±(n + 1/2)π, … (в градусной мере: ±90°, ±270°, ±450°, …, ±(n + 1/2)·180°, …).
  • Котангенс и косеканс имеют точки разрыва 0, ±π, ±2π, …, ±nπ, … (в градусной мере: 0°, ±180°, ±360°, …, ±n·180°, …).

ЧётностьПравить

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

 
 
 
 
 
 

ПериодичностьПравить

Функции   — периодические с периодом  , функции   и   — c периодом  .

Формулы приведенияПравить

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

 
 
 
 

Здесь   — любая тригонометрическая функция,   — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

  или что то же самое:  

Некоторые формулы приведения:

               
               
               
               
               

Формулы сложенияПравить

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

 
 
 
 

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

 
 

Формулы для кратных угловПравить

Формулы двойного угла:

 
 
 
 

Формулы тройного угла:

 
 
 
 

Прочие формулы для кратных углов:

 
 
 
 
 
 
 
 
  следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

 
 
 
 

где   — целая часть числа  ,   — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

 
 
 
 
 
 

ПроизведенияПравить

Формулы для произведений функций двух углов:

 
 
 
 
 
 

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

 
 
 
 

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

СтепениПравить

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Иллюстрация равенства  

СуммыПравить

 
 
 
 
 
 
 

Существует представление:

 

где угол   находится из соотношений:

 
 

Универсальная тригонометрическая подстановкаПравить

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции комплексного аргументаПравить

ОпределениеПравить

Формула Эйлера:

 

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

 
 
 
 
 
  где  


Соответственно, для вещественного x:

 
 

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

 
 

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графикиПравить

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости