Открыть главное меню

Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до -мерного пространства (), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство .

Тригонометрические функцииПравить

 
Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку   на единичной окружности с началом координат  , получается отрезок, находящийся под углом   относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

 ,
 .

При подстановке этих значений в уравнение окружности   получается:

 .

(Используется следующая общепринятая нотация:  .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

 
 

для всех целых чисел  , то есть для  .

Комплексная плоскостьПравить

См. также: U(1)

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество  :

 

Множество   является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это  ).

См. такжеПравить